UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 1
Ano Lectivo 2009/2010

1) Calcule os dez primeiros termos das sucess~oes de termo geral
) = (-1)

2 - 3
2
2 + (-1)
) =

{
1 = 1
)

+1 = 1 +
10

) =


+1

) = (-2)
) =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
2
3
1.2 2.2
3.2
.2

2) Determine o termo geral das sucess~oes sugeridas pelos primeiros termos a seguir listados
) 8, 16, 24, 32, . . .
) 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . .

) 2, -2, 2, -2, 2, -2, . . .

) 3, 5, 7, 9, 11, 13, . . .

) -2, 2, -2, 2, -2, 2, . . .

) 2, 5, 8, 11, 14, . . .

) 4, 16, 64, 256, 1024, . . .
3) Escreva os dez primeiros termos das sucess~oes definidas por recorr^encia:



{
1 = 1
1 = 1
( )
1 = 4
)
) 2 = 1
1
)
+1 = +


+1 = 2
2
+2 = + +1
4) Defina, por recorr^encia, as sucess~oes sugeridas pelos primeiros termos listados a seguir
) 1,

1 1
1 1
) - , , - ,
, ...
2 4
8 16

1 1 1 1
, , ,
, ...
2 4 8 16

5) Mostre que s~
ao limitadas as sucess~oes:
1

3 + 10
) =


1


) = 5

) = (-1)

5
) = 2 - 2

1
se ´e par
) =
-1 se ´e ´impar

1
) =
2 + 3

) = 2 -

) = 2 + (-1)

) = (-1)

) = (-1) + (-1)-1

) =

1
2 - (-1)

+1
2 + 3

) =

2 + 3
3 + 2

) = 1 +

) = -

4
+3

6) Estude, quanto `
a monotonia, as sucess~oes cujos termos gerais s~
ao:

) =

)

{

1 = 1
+1 = (1 + )

{
1 = 1
)

+1 = 25 + 3

+1
) = 1 -
2
( )
3
2
) =
!

1

se 15
2 -
5
) =

5 - 1
se > 15
2

7) Calcule, caso exista, o limite de cada uma das sucess~oes de termo geral
) = 1 -

) = - 3

) =

1-


) =

(

) =

2
+1

) =

2 + 3
4

72
1
-
3


3

2 +
) = 22
+


2

) =

1-


) = - + 1
)2

)3

) =

(

) =

22 + 1
2

-1
-2

6 + (-1)
7
)2
(
1
1
) = - -
2 +1

) = 3 - 2

3

+ 1

) =
1

2 -


se ´e par
se ´e ´impar

-3 + 2
2

) =

) = ( + 1)2 + 3 ) = -2 - 3 ;

8) Calcule

2
) lim +1
4
3+1 + 7
) lim
3 -1
( +1
)
) lim 2
- 2

) =

se ´e par
se ´e ´impar

2
1 + 5+1
2 - 3
) lim
6
[
( ) ]
3
) lim 1 -
2

6
+1
4
2 + 3
) lim
4 +8
[
( ) ]
2
) lim 1 -
3

) lim

) lim

9) Calcule

)
1 -1
) lim 1 +

)
(
1 -3
) lim 1 +

(
)
-1
) lim
+2
(

)
1
+3
(
)
1
) lim 1 +
3
( 2
) 2
+1
) lim
2 + 5
(
) lim 1 +

)
1 8
) lim 1 +

(
)
1
) lim 1 -
2
)
(
5 - 2 3
) lim
5 + 3

)
1 /2
) lim 1 +

(
)
4
) lim 1 +
3
(
)
1 2 +1
) lim 1 +
2

(

(

10) D^e exemplos de sucess~oes ( ) e ( ) tais que +, + e
) ( - ) -

) ( - ) +

) ( - ) 3

) ( . ) n~
ao tem limite

)

)


+



5


) ( - ) 0

)
0


11) Das seguintes sucess~oes, indique as que s~
ao convergentes.
(-1)


800
+ (-1)
)


) 800 +

) 2 [(-1) + 1]

) 3 + (-1)

12) Calcule cada um dos seguintes limites:


(-1)
) lim
) lim 2
2
+1
+1
(
)
+3 3
3 - 5
) lim
) lim
3 + 1
2 + 4
(
)2
2
3 + (-1)
) lim
) lim
8 + 1
2

) 800 + (-1) ×
)

3 + (-1)
2

)
2 --2
) lim 1 +


2 + + 3
) lim
+1
(

) lim



3 + 1 -



) lim

3 + 2
5

) lim

7-
2-

2 + 2

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 2
Ano Lectivo 2009/2010

1) Estude a natureza das seguintes s´eries. Em caso de converg^encia calcule a respectiva soma.
+
+
+
+ ( )




2
1
2
-2
)
ln(1 + )
2
)
)
)

7

7
=1
=1
=1
=1
)
)

+


=2
+


=0

1
ln(1 - )

2-1
6

-

+

)
)

+


=1
+


+

2
2-
)
( + 1)( + 3)

3.2

+ ( + 1)
)

2 ( + 1)

=1

)

=1
+


3
1
+

6


+




=1

)

+


=1
+


=1

2

3-1



+1-

2 +

2) Mostre que s~
ao divergentes as seguintes s´eries.
)

+ 2

+

=1

2

+2

)

+




(-2)

)

=1

=1



1
+1

)

+


2+1 sen

=1

1
2-

3) Use a teoria das s´eries geom´etricas para calcular os racionais dados pelas d´izimas abaixo.
) 2,181818 . . .
) 0,999 . . .
) 0,1123232323 . . .
) 3,666 . . .
4) Determine a natureza das seguintes s´eries usando crit´erios de compara¸c~ao.
)
)
)
)

+


=1
+


=1
+


=1

+


)

1
ln( + 1)
=1

)

1
2
+1
=1

)

+1
( + 2)

)

+




)

+


5
2 + 3

)


4

)

+1
2 + 1

)

3

4+
2
=1
+


+


1
2 + 3

1


(2 + 1)

)
)

=1
+


3

+1
( + 2)

1


-

=2

)

1
( + 1)
=1

)

+


=1
+


tg

=1
+

=1

+


1
(2 - 1)22-1
=1
+


=1
+


=1
+


sen


2

-



2 - 1

cos2
2 + 1
=1

5) Determine a natureza das seguintes s´eries usando o crit´erio de D'Alembert.
+

!
)
2
=1

)

+


)
! 3

)

=1

+


(2)!

=1
+


=1

)

+

2 × 5 × . . . × (3 - 1)

=1

10 × 2 × !
(2)!

) 1 +

1 × 5 × . . . × (4 - 3)

2 2×6 2×6×4
+
+
+
3 3×5 3×5×7

6) Determine a natureza das seguintes s´eries usando o crit´erio de Cauchy.
)
+ ( 2
+
+ +1 2
+




( )

+1
1
)
)
)
)
2


2 + 1
3
2
2
=1
=1
=1
=1
)
+ (
+
+
+





(2 + 3)2

1

)
)
)
)
ln ( + 1)
2 + 1
21+3
(52 - 1)
=1

=1

=1

=1

7) Calcule os seguintes limites.
2
) lim( )
3

) lim


(2)!

) lim


(!)2

) lim


,
!

R

8) Estude a natureza das seguintes s´eries alternadas.
)
)

+


cos() sen

=1
+


1



(-1) cos( )

=1

+


)

2
(-1)

=1

)

)

+


)

(-1)

=2

2 + 1
2 -

+


(-1)+1

=1
+


sen
2
!
=1

+

1
+1
(-1)
)
2 - 1

=1

)

+


(-1)+1

=1

1 1



9) Determine se s~
ao absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as s´eries
indicadas.
+
+
+
+




sen( 4 + )
!



(-1)
e- !
)
)
)
(-1)
)
3
+
1
(
+
2)!
+2
=1
=1
=1
)

=1
+


cos()

)

=1

+


2
(-1)+1 4

=1

+


1
)
( + 1)( + 2)
=1

)

+

sen(4)

4

=1

10) Determine a natureza das seguintes s´eries.
)

+


1-2

2 3

=1
+


2
2 + 3
=1
)2
+ (

1 + 2
)
1 + 3
=1

)

+


1
sen
)

=1
(
+
+ 2 )
)
+4
)

=1
+


=1

2
(3 + 9)

+


)

)

1+
2
=1

)

1
!
=1

)

+

( + 1)!

)

+

ln

tg

)

1
)
2
+ 4 + 3
=1

)

+


=1
+


3



+


-

! e

=1
+


=1
+


3

cos()
3 + 1

)
)

+




=1
+


+1
3


+1
3
=1

+

3 - 2
)
4 + 3
=1

)

+


ln

2 + 1
2

2+1
=1
=1
)
+
+


(2)!
(-1) 2


)
)
sen
)
2

2 + 1
+2
+1
2
=1
=1
=1
(
)
2
))
)
(
(
(
+
+
+
2








5
)
)
)
tg
+2
+3
2 + 4
=1
+ (


=1

=1

=1

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 3
Ano Lectivo 2009/2010

1) Determine o intervalo de converg^encia das seguintes s´eries de pot^encias:
)

+


=0

1
( - 3)
+1

)

+ 2)
2+1

(

(-1)

=0

)

+


=0

)

)

+

2 (!)2

(2)!

=0

1
(5 + 1)2
2
+1

)

+


=0

+


=0

+

2
)
( + 2)

10
=0


)

2

+
1
=0
)

( + 1)

=0

+


+


+


)


( - 2)

)

+


2
( - 1)

1
+
8
=0
+


=0

(-1) 2+1

2 + 1

)


( - 1)
+1

+


=1

2

1
2+1
+1

1
( + 1)2+1
3

2) Sabendo que
sen =

+


(-1)

=0

2+1
,
(2 + 1)!

cos =

+


(-1)

=0

2
(2)!

e

e =

+

1

!
=0

para cada R, verifique que para cada R se tem
)

2
e-

=

+

(-1)

=0

) cosh =

!



2

)

2

=

+

(ln 2)

!

=0

+

2
(2)!

) sen2 =

+




=0

(-1)+1

=1

=0

+

2+1
) senh =
(2 + 1)!



22-1 2

(2)!

) cos2 = 1 +

+


(-1)

=1

22-1 2

(2)!

3) Determine para cada uma das fun¸c~
oes seguintes a s´erie de pot^encias que tem por soma essa fun¸c~
ao
e indique o intervalo de converg^encia da s´erie.
1
1+
1
) -
(3 + )2
3
)
(1 - )2

)

) -

1
(1 + )2

) ln(3 + )
)

1
(1 - )3

4) Sejam e as fun¸c~
oes dadas por () =

) ln(1 + )

)

1
3+

23
1 - 2

)

1 + 2
1 - 2

)

) ln(1 - )

) arctg(3)

e -1
e () = e .


) Escreva as fun¸c~
oes e como s´eries de pot^encias centradas em zero.
) Derive a s´erie a s´erie que obteve para e mostre que

) Primitive a fun¸c~
ao e a sua s´erie para mostrar que

+



= 1.
( + 1)!
=1

+


=1

1
1
= .
!( + 2)
2

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 4
Ano Lectivo 2009/2010

1) ) Represente no plano os seguintes pontos (2, 2), (1, 2), (-2, -4) e (-3, 1).
) Represente no espa¸co os seguintes pontos (0, 5, 2), (4, 0, -1), (2, 4, 6) e (1, -1, 2).
(
)
2) Sejam = (1, 2/3) e = (0, -3) dois vectores de R2 , = (1, 3/4, 0) e = 7, 3, dois vectores
(
)
de R3 e =
2/3, 1, -1/2, -2 e = (2, 1, -2, 1) dois vectores de R4 . Determine

1
) +
) - 2
) - + 2
) + 2
3
3) Determine dist^
ancia entre os pontos

) (3, 2, 1, 4) e (2, 4, 6, 1)
) (1, 2, 1) e (6, 2, 1)
) (2, 1) e (6, 2)
4) Calcule a norma dos vectores
(
)
)
3, 2, 3
) (2, 3)
5) Verifique se

) ( 2, 3) 1 [(-1, 2)]

) (2, 2, 2) 2 [(2, 0, 0)]

) (2, 1, 0, 5)

) (2,

)

(

1
3
, 1, - , 5
2
2

)


2, 2) 2 ((2, 0, 0))

) (2, 2, 1, 0) 4 ((1, 1, 0, -1))

6) Represente geometricamente
) 1 (2)
) 2 [(1, 2)]

) 1 [2]

) 1 (2)

) 2 ((1, 2))

) 2 ((1, 2))

) 1 [(1, 2, 3)]

) 2 [(2, 2, 3)]

7) Represente geometricamente cada um dos seguintes conjuntos e determine o interior, a fronteira, o
fecho e o derivado. Indique ainda se o conjunto ´e aberto, se ´e fechado e se ´e limitado.
{
}
) = (, ) R2 : > 4
{
}
) = (, ) R2 : -2
{
}
) = (, ) R2 : > 1
{
}
) = (, ) R2 : max {, } 1
{
}
) = (, ) R2 : = 0, 2 < < 4
{
}
) = (, ) R2 : = , 2 4
{
}
) = (, ) R2 : 2 + 2 1, < 2
{
}
) = (, ) R2 : > 2 , 2 4
{
}
) = (, ) R2 : 2 + 2 1, = 2
{
}
) = (, ) R2 : 1 2 + 2 2, = 0
{
}
) = (, ) R2 : - 1 1, -2 < < 2
{
}
) = (, , ) R3 : = 2 + 2
{
}
) = (, , ) R3 : 2 + 2 1, 0 < < 4
{
}
) = (, , ) R3 : 2 + 2 + 2 < 2, 2 + 2 < 1
{
}
) = (, , ) R3 : 1 < 2 + 2 + 2 4, > 0
{
}
) = (, , ) R3 : 1 < 2 + 2 + 2 4
{
}
) = (, , ) R3 : 2 + 2 , 1 4

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 5
Ano Lectivo 2009/2010

1) Sejam e as fun¸c~
oes dadas por (, ) = 2 + ln( - 1) e (, ) =

2
.
1 - ln( + - 1)

) Calcule (1, 2), (2, 1 + e), (1, 2) e (2, 0).
) Determine o dom´inio e o contradom´inio de e de .
2 2
2) Sejam e as fun¸c~
oes definidas por (, , ) = 2 e2 cos e (, , ) = e - - .
) Calcule (0, 1, -), (, 2, 0), (2, -1, 6), (0, 0, 1).
) Determine o dom´inio e o contradom´inio de e de .
3) Sejam e as fun¸c~
oes dadas por
(
(
)

2
/
(, ) = - - 1, e
e (, , ) = e -- , arcsen ,

1
2
+ 2

)

.

Calcule (2, 3), (0, 1), (0, 1, 5) e (0, 1, 2) e determine o dom´inio de e de .

4) Determine o dom´inio de cada uma das seguintes fun¸c~oes. Determine ainda o interior, o derivado,
o fecho e a fronteira de , e indique se ´e aberto, se ´e fechado e se ´e limitado.



) (, ) = +
) (, ) = ln(9 - 2 - 9 2 )
) (, ) = +
3 + 5
- 3

) (, ) = 2
) (, ) = - ln( + ) ) (, ) =
+ 3
+ 2 - 4

1
1
- 2
) (, ) =
) (, ) = 2
) (, ) =
2
2
+
1 - 2 - 2
1 -

ln(2 + 2 )

2 + 2 - 1

)

(,
)
=
) (, ) =
) (, ) = arctg
ln(4 - 2 - 2 )
+
2 -

ln()
) (, , ) = ln()
) (, , ) = 2
+
) (, , ) = 1 - 2 - 2 - 2
+
(
)
) () = ln(2 - ), arccos(1 - 2 )
) (, , ) = ln(16 - 42 - 4 2 - 2 )

)
(
4
ln( - 1 - 2 + 2 )
2

) (, ) = ln( - ),
) (, , ) =
- 1
- 22 - 2 2

5) Determine o dom´inio de cada uma das seguintes fun¸c~oes. Determine ainda as curvas de n´ivel e
esboce quatro delas.
) (, ) = 9 - 2 - 2

) (, ) = 4 - 2 - 2

) (, ) =


) (, ) = 8 - 2 - 2

) (, ) = 2 + 2 + 1

) (, ) = - 3 + 2

) (, ) = 2 - 2

) (, ) =

) (, ) = sen(2 + 2 )

6) Esboce o gr´
afico de cada uma das seguintes fun¸c~oes.
) (, ) = 2 + 2

) (, ) = 9 - 2 - 2

) (, ) = 4 - 2 - 2

) (, ) = 2 - 3 + 1

) (, ) = 2 + 2 + 1
) (, ) = sen

7) Para cada uma das seguintes fun¸c~
oes determine as superf´icies de n´ivel e esboce quatro delas.
) (, , ) = 2 + 2 -
) (, , ) = 2 + 2

) (, , ) = 2 + 3 2 + 5 2 ) (, , ) = - 2 + 2

) (, , ) = ( - 1)2 + 2 + 2

) (, , ) = + 3 + 5

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 6
Ano Lectivo 2009/2010

1) Determine, caso existam, os seguintes limites:
)

lim

(,)(5,-2)

)

(5 + 43 - 5 2 )

lim

(,)(6,3)

cos( - 2)

2

(,)(0,0)
2 + 2

)

63
(,)(0,0) 24 + 4

)

)

4 - 4
(,)(0,0) 2 + 2

)

)

cos
(,)(0,0) 32 + 2

)

sen()

(,)(0,2)

)

2 sen2
(,)(0,0) 2 + 2 2

)

)

sen( + )2
2 + 2
(,)(0,0)

sen(2 - cos( + ))
2 - cos( + )
(,)(0,0)

)

)

e(-1) -1
(,)(1,0) sen tg( - 1)

)

)

lim

lim

lim

lim

lim

lim

+ 2 + 2
(,,)(0,0,0) 2 + 2 + 4

2 + sen2
(,)(0,0) 22 + 2
lim

lim

lim

lim

(,,)(3,0,1)

e- sen


2

2 + 2 2 + 3 2
(,,)(0,0,0) 2 + 2 + 2
lim

+ +
(,,)(0,0,0) 2 + 2 + 2
(
)
2
2 + 3
)
lim
,
(,)(0,0) 2 + 2 2 + 1

)

lim

( - 2)
(,,)(0,0,2) + + - 2
)
(
2 + 1
2 tg + 1
, tg ,
) lim tg
0

2

)

lim

lim

lim

2) Seja a fun¸c~
ao definida por
(, ) =

2
.
2 + 4

) Mostre que a fun¸c~
ao tem o mesmo limite no ponto (0, 0) ao longo de qualquer recta que passe
na origem.
) Calcule o limite no ponto (0, 0) ao longo da par´
abola de equa¸c~ao = 2 .
) O que pode concluir sobre a exist^encia de

lim

(,)(0,0)

(, )?

3) Seja a fun¸c~
ao definida por
(, ) =

4
.
8 + 2

) Mostre que a fun¸c~
ao tem o mesmo limite no ponto (0, 0) ao longo de qualquer recta que passe
na origem.
) Calcule o limite no ponto (0, 0) ao longo da curva de equa¸c~ao = 4 .
) O que pode concluir sobre a exist^encia de

lim

(,)(0,0)

(, )?

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 7
Ano Lectivo 2009/2010

1) Estude a continuidade das fun¸c~
oes indicadas.

) (, ) = arctg( + )
) (, ) = arcsen(2 + 2 )
) (, ) = ln(2 + 2 - 4)
(
)

sen
1
sen() 1
2
) (, ) =
) (, ) = cos +
) (, ) =
,
- 2

+


)
(
2
se (, ) = (0, 0)
+

+
+ 2
) (, ) =
) (, , ) = ln( + ), - ,

+1
1
se (, ) = (0, 0)

2
2
3
2

-

se (, ) = (0, 0)
se =
2
2
-
) (, ) =
) (, ) = 2 +


1
0
se =
se (, ) = (0, 0)


3
1 - 2 + se + < 1
3



-
se + = 0
+
) (, ) = 1
) (, ) =
se + = 1




-
se + = 0

2-+
se + > 1

2) Seja : R2 R uma fun¸c~
ao cont´inua em R2 e tal que (, ) = 1 +

2 - 2
para (, ) = (0, 0).
2 + 2

Indique, justificando, o valor de (0, 0).
2
2

- + e ( + ) se =
3) Seja R. Considere a fun¸ca
~o (, ) = 2 + 2

+ 1
se =
) Calcule

lim

(, ).

(,)(0,0)
=

) A fun¸c~ao possui limite na origem?
) Determine de tal modo que seja cont´inua no ponto (1/2, 1/2).
) Ser´
a poss´ivel determinar de tal forma que seja simultaneamente cont´inua em dois pontos
distintos da forma (, )?
{
}
4) Considere a fun¸c~
ao (, ) = 2 + 2 e conjunto = (, ) R2 : 1 < 2 + 2 < 4 .
) Verifique que a fun¸c~
ao ´e cont´inua em e que ´e limitado.

) Esboce algumas curvas de n´ivel de e o conjunto e conclua da an´
alise desse esbo¸co que a
fun¸c~ao n~
ao tem m´
aximo nem m´inimo em .
) Porque ´e que as al´ineas anteriores n~
ao contradizem o teorema de Weierstrass?
) Diga, justificando, se admite extremos em .
{
}
5) Considere a fun¸c~
ao (, ) = + e o conjunto = (, ) R2 : 0 .
) Verifique que a fun¸c~
ao ´e cont´inua em e que ´e fechado.

) Esboce algumas curvas de n´ivel de e o conjunto e conclua da an´
alise desse esbo¸co que a
fun¸c~ao n~
ao tem m´
aximo nem m´inimo em .
) Porque ´e que as al´ineas anteriores n~
ao contradizem o teorema de Weierstrass?

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 8
Ano Lectivo 2009/2010

1) Para cada uma das seguintes fun¸c~
oes calcule, usando a defini¸c~ao, as derivadas parciais de primeira
ordem nos pontos indicados.
) (, ) = ln no ponto (e, 2).
) (, ) = (e+ , 2) no ponto (1, 1)
) (, , ) = 2 + + 45 no ponto (0, 1, 0)

2

, se (, ) = (0, 0)
nos pontos (0, 0) e (0, 1)
) (, ) = 2 + 2

0
se (, ) = (0, 0)

2
2
se (, ) = (0, 0)
no ponto (0, 0)
) (, ) = 2 + 2

0
se (, ) = (0, 0)

- se = -
) (, ) = +
no ponto (0, 0)
0
se = -

2) Para cada uma das fun¸c~
oes indicadas determine o respectivo dom´inio, as derivadas parciais de
primeira ordem e os pontos onde estas existem.
) (, ) = 5 + 33 2 + 3 4
) (, ) = 3 - 2 4
) (, ) = / ln
) (, ) = 3
) (, ) =
) (, ) = 2 + 2 sen()

) (, ) = ln (sen )
) (, , ) = / +
2
) (, , ) = (2 - + )-
) (, , , ) =
+ 2
+

5
) (, ) = (e
, 2)
) (, , , ) = sen( + e ) + ln() - 3
(
)
)
(


1
2
2
2
+ ,
) (, ) =
, 2
) (, , ) = 3 + ln( + 1) + 2,
+1
++1
3
3
- -
2
) (, ) =
+ 2

0

se (, ) = (0, 0)

se (, ) = (0, 0)

) (, ) =





2
1

3 - 2
+ ( - 1)2

se (, ) = (0, 1)

se (, ) = (0, 1)

3) Calcule, usando a defini¸c~
ao, a derivada das seguintes fun¸c~oes nos pontos indicados e segundo o
vector indicado.
(, ) = 2 no ponto (0, -1) segundo o vector (1, 2)
(, ) = sen() no ponto (0, 0) segundo o vector (1, 1)
(, ) = 2 - no ponto (-1, 2) segundo o vector (1, 1)
() = (sen( + 1), ln ) no ponto 1 segundo o vector 1
(, , ) = ln(2 + 2 ) + no ponto (-1, 1, 0) e segundo o vector (1, 1, 1)
(, , ) = 2 - no ponto (0, 1, 1) segundo o vector (1, 2, 1)
(, , ) = + + no ponto (-1, 1, 7) segundo o vector (3, 4, -12)
(
)
(, , ) = 2 + 2 + 2 , no ponto (1, 2, 3) segundo o vector (1, 1, 1)

2

se + = 0
no ponto (-1, 3) segundo o vector (1, -2)
) (, ) +

0
se + = 0

)
)
)
)
)
)
)
)

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 9
Ano Lectivo 2009/2010

1) Verifique, usando a defini¸c~
ao, que as seguintes fun¸c~oes s~
ao diferenci´
aveis no ponto indicado
) (, ) = 42 - 2 + 2 no ponto (1, 2)
) (, ) = cos( - ) no ponto (2, 2)

) (, ) = 4 - 2 - 2 2 no ponto (0, 1)
{
2 + 3 se = 0
no ponto (0, 0)
) (, ) =
0
se = 0

2) Mostre que as seguintes fun¸c~
oes s~
ao diferenci´
aveis usando a defini¸c~ao.
) (, ) =

) (, ) = 2 + - 2

) (, ) = + 2

3) Determine os pontos onde as fun¸c~
oes indicadas s~
ao diferenci´
aveis.

) (, , ) = + + + cos()
) (, ) = 2 + 2 + sen()

+
2
-1

e
se + = 0
se
(,
)
=

(0,
0)
4
2
) (, ) = +
) (, ) = 2 + 2


3
se + = 0
0
se (, ) = (0, 0)

4) Verifique que as seguintes fun¸c~
oes s~
ao diferenci´
aveis no ponto indicado e determine uma equa¸c~
ao
do plano tangente ao gr´
afico das fun¸c~
oes no ponto indicado
) (, ) = 42 - 2 + 2 no ponto (-1, 2, 4);

) (, ) = 4 - 2 - 2 2 no ponto (1, -1, 1);
) (, ) = cos( - ) no ponto (2, 2, 2).

5) Prove que a fun¸c~
ao ´e diferenci´
avel no ponto dado e determine a lineariza¸c~ao (, ) da fun¸c~
ao no
ponto.

) (, ) = cos no ponto (0, 0)
) (, ) = no ponto (1, 4)
) (, ) = arctg( + 2) no ponto (1, 0)
) (, ) = sen(2 + 3) no ponto (-3, 2)
6) Determine a aproxima¸c~
ao linear da fun¸c~ao (, ) = ln( - 3) em (7, 2) e use-a para aproximar
(6.9, 2.06).

7) Determine
a aproxima¸c~
ao linear da fun¸c~ao (, , ) = 2 + 2 + 2 em (3, 2, 6) e use-a para
aproximar (3.02)2 + (1.97)2 + (5.99)2 .
8) Determine a derivada das seguintes fun¸c~oes
) (, ) = 2 + +
) (, ) = (3 - 3, 2 + + )
(
)
) (, ) = + 2 , e+ , 3
(
)
) () = + e , e2

) (, ) = 2 + 7
(
)
) (, , ) = 2 + 2 , sen(), ln 2

) (, , ) = 2 + 2 + e
(
)
) (, , ) = 2 + 2 , + ln(2 + 3)

9) Determine o gradiente das seguintes fun¸c~oes nos pontos indicados.
) (, , ) = - no ponto (2, 1, 1)


) (, , ) = ln(2 + 2 ) + no ponto (0, , 1)

no ponto (0, -1, 2, 3)
) (, , , ) = 2 - 3 +
+
) (, , ) = 3 + 3 - 3 no ponto (2, 1, 0)

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 10
Ano Lectivo 2009/2010

1) Use a regra da derivada da fun¸c~
ao composta para calcular as seguintes derivadas:



)


)


)


)

quando = 2 + sen , = 2 + arctg e = e -2 ;
quando = 2 + , = 32 + 1, = 2 - 4 e = 3 ;
quando = + , = , = sen e = cos ;
e


2
quando = e e = ln ;




e
quando = 2 e + 2 cos 2 , = 2 e = e ;




e
quando = 3 + + 2 , = e , = e e = 2 ;
)


)

)



,
e
quando = 2 + + 3 , = 2 + 2 + 2 , = , = e e = 2 .



2) Utilize a regra da derivada da fun¸c~
ao composta para determinar as derivadas parciais indicadas:
)



e
quando = ln(2 + 2 + 2 ), = + 2, = 2 - e = 2 no ponto


(, ) = (1, 1);


,
,
quando = 2 + 3 , = 2 +3 e = + no ponto (, , ) = (2, 1, 0);



,
e
quando = arctg(), = + , = + e = + no ponto
)



(, , ) = (1, 0, 1).
)

3) Usando a regra da derivada da fun¸c~
ao composta, determine a matriz jacobiana de quando
(
)
) (, , ) = 2 + 2 , arctg e (, ) = (2 + , , sen );
) (, ) = (tg + , , 2) e (, ) = ( - 1, ).

4) Usando a regra da derivada da fun¸c~
ao composta, determine a derivada de nos pontos indicados
para
(
)
) () = sen , 2 e (, ) = e3+2 no ponto ;
( 2
)
(
)
) (, , ) = , 2 + 2 e (, ) = e + , + no ponto (2, 0, -4);
(
)
) (, ) = (- , - ) e (, ) = tg( - 1) - , 2 - 2 no ponto (1, 1).

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 11
Ano Lectivo 2009/2010

1) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da fun¸c~ao (, ) = sen() + 2 .
2) Considere a fun¸c~
ao (, , ) = 2 + + definida em R3 . Calcule

4
.
2

3) Determine todas as fun¸c~
oes : R2 R que verificam as igualdades indicadas.

2
2
(, ) = 0
)
)
(, ) = 0

2
2
2
2
2
)
(,
)
=
24,
(,
)
=
-3,
(,
)
=
-3,
(, ) = 42
2


2
2
2
2
2
)
(,
)
=
12
-
4,
(,
)
=
(,
)
=
-4,
(, ) = 60 2 + 2.
2


2

4) Mostre que n~
ao existe nenhuma fun¸c~
ao : R2 R tal que



(, ) = 2 + 1 e
(, ) = 2 .



5) Mostre que a fun¸c~
ao = + ´e uma solu¸c~ao da equa¸c~ao

3
3
3
3
.
+
=

+

3 3
2
2

6) Seja : R R uma fun¸c~
ao de classe 2 e , 1 e 2 constantes reais. Prove que qualquer fun¸c~
ao
2
2

da forma (, ) = 1 ( - ) + 2 ( + ) ´e solu¸c~ao da equa¸c~ao
= 2 2 .
2

7) Sejam = 2 3 , = + , e = 2 - 2 . Calcule

2
2
,
,
e
.
2


8) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das fun¸c~oes que se seguem e observe que verificam
o Teorema de Schwarz.
) (, ) = 2 3 + 3 + 1

) (, ) = arctg


2
2
( - )
9) Considere a fun¸ca
~o (, ) =
2 + 2

0
) Calcule, se existirem,

) (, ) = cos 3 +
) (, , ) = e
(, ) = (0, 0),
(, ) = (0, 0),

2
2
2
2
,
,
e
.
2
2

) Esta fun¸c~
ao contradiz o Teorema de Schwarz? Justifique.
10) Considere as fun¸c~
oes

2
(, ) = 2 + 2

0

se (, ) = (0, 0),
se (, ) = (0, 0),

) Estude a continuidade de e .

e

3
(, ) = 2 + 2

0



se (, ) = (0, 0),
se (, ) = (0, 0).

) Calcule, caso existam, todas as derivadas parciais de segunda ordem de e .
) Estude a diferenciabilidade de e .

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 12
Ano Lectivo 2009/2010

1) Para cada uma das seguintes fun¸c~
oes verifique que a equa¸c~ao (, ) = 0 define implicitamente

como fun¸c~ao de numa vizinhan¸ca do ponto (, ) indicado e determine
():

) (, ) = 2 + + 2 - 3 no ponto (, ) = (1, 1);

) (, ) = 2 - + 2 - 3 no ponto (, ) = (1, -1);

) (, ) = 2 + 2 - - 2 no ponto (, ) = (1, 1);
( )
;
) (, ) = cos() no ponto (, ) = 1,
2
) (, ) = - + 1 no ponto (, ) = (0, 1);
2) Considere a fun¸c~
ao definida por (, ) =

sen( - 2) +
+ ln( + 1).
--2

) Represente anal´itica e geometricamente o dom´inio de .
) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a ader^encia e o derivado do dom´inio de .

) Calcule
e
.

) Estude a diferenciabilidade de .
) Prove que a equa¸c~
ao (, ) = 0 define implicitamente em fun¸c~ao de , = (), numa
vizinhan¸ca de 0 = (2, -1 + ).

) Calcule (2).


3) Mostre que a equa¸c~
ao sen() =
define implicitamente como fun¸c~ao de e numa
2
)
(

. Determine as derivadas parciais de no ponto (1, 1).
vizinhan¸ca do ponto 1, 1,
2

4) Mostre que a equa¸c~
ao 3 + 2 2 - + 2 + = 0 define implicitamente como fun¸c~ao de e


(1, 1) e
(1, 1).
de numa bola aberta centrada no ponto (1, 1, -1). Calcule



5) Seja : R R uma fun¸c~
ao de classe 1 e tal que () = -1.
( )
) Prove que a equa¸c~
ao 2 + 2 cos() -
= 0, define como fun¸c~ao impl´icita de e numa

vizinhan¸ca de (-1, , 1).
)
(


+
(, 1) = 0.
) Mostre que


6) Determine:


quando cos( - ) = e ;
)
quando 3 + 3 = 6;




)
e
quando 2 - 3 = - cos ;
)
e
quando e + + e = 0;



e
quando 3 + 3 + 3 + 6 = 1.
)


)

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 13
Ano Lectivo 2009/2010

1) Determine, caso existam, os m´
aximos, m´inimos e pontos sela das seguintes fun¸c~oes.
) (, ) = 2 + 2

) (, ) = 2 - 2

) (, ) = ( - 1)2 - 2 2

) (, ) = ( - 1)2 + 2 2

) (, ) = ( - 2 )( + 2 - 2)

) (, ) = 2 + + 2 - 2 -

) (, ) = 9 - 2 + 4 - 2 - 4 2

) (, ) = 3 + 122 - 8

) (, ) = e4-

2 - 2

) (, ) = (1 + )( + )

) (, , ) = 2 - 2 - 2 - 2 + +
) (, , ) = 2 - 2 + + 2
) (, , ) =

) (, , ) = 2 + 2 + 2 - + - 2
) (, , ) = ( - )2 + ( - )2 - +

1 2
+ 2 + 2 +
2

) (, , ) = ( - 1)2 +

2) Determine, utilizando multiplicadores de Lagrange, os extremos absolutos das seguintes fun¸c~
oes
sujeita `a(s) restri¸c~
ao(~
oes) dada(s).
) (, ) = 2 - 2 ; 2 + 2 = 1

) (, ) = ; + = 1

) (, ) = ; 42 + 2 = 4

) (, ) = ; + = 1; 42 + 2 = 4

) (, ) = 3 + 4; 2 + 2 = 1

) (, ) = 4 + 6; 2 + 2 = 13

) (, ) = 2 ; 2 + 2 2 = 6

) (, , ) = ; 2 + 2 2 + 3 2 = 6

) (, , ) = + ; 2 + 2 + 2 = 1

) (, , ) = - + 2; 2 + 2 + 2 2 = 2

) (, , ) = + ; = 1, 2 + 2 = 1

) (, , ) = ; 2 + 2 = 1; =

3) Determine os extremos absolutos das seguintes fun¸c~oes nos conjuntos indicados.
{
}
) (, ) = 2 - 2 no conjunto (, ) R2 : 2 + 2 4
{
}
) (, ) = 1 + 2 + 2 no conjunto (, ) R2 : 2 + 2 4 .

{
}
) (, ) = 2 - 4 + 4 2 no conjunto (, ) R2 : 2 + 2 4
) (, ) = 1 -

2

-

2

no conjunto

{

(, )

R2

:

2

+

2

1
10
2

{
}
) (, ) = 2 + 2 + 2 no conjunto (, ) R2 : 2 + 2 4 -1

}

) (, ) = 5 - 3 + 4 na regi~
ao triangular fechada com v´ertices nos pontos (0, 0), (4, 0) e (4, 5).

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 14
Ano Lectivo 2009/2010

1) Determine o volume m´
aximo do paralelip´ipedo de arestas paralelas aos eixos coordenados e inscrito
na figura dada por
2 + 2 - = 0 e 4.
2) Determine, usando multiplicadores de Lagrange, a dist^
ancia da par´
abola de equa¸c~ao = 2 `a recta
= - 1.
3) Calcule os extremos da fun¸c~
ao
(, , ) = ( - 1)2 + ( - 1)2 + ( - 1)2 ,
sujeita `a condi¸c~
ao
2 + 2 + 2 = 1.
Interprete geometricamente.
4) Determine os pontos da superf´icie
2 = + 1
que est~
ao mais pr´
oximos da origem.
5) Determine as dimens~oes da caixa rectangular de maior volume cuja ´area da sua superf´icie total ´e
64 cm2 .
6) Uma caixa de papel~
ao sem tampa deve ter um volume de 32000 cm3 . Determine as dimens~oes que
minimizem a quantidade de papel~
ao utilizado.
7) Considere a fun¸c~
ao
(, ) = 2 + 2 + 2
e o conjunto compacto em R2
}
{
2
2
e -2
= (, ) R : -
2
) Determine os extremos locais de no interior de .
) Usando o resultado da al´inea anterior e o m´etodo dos multiplicadores de Lagrange determine
os extremos globais de em .
8) Suponha que se pretende construir um tanque cil´indrico de chapa met´
alica com uma dada capacidade . Com que altura e raio da base o devemos construir de forma a gastar o m´inimo poss´ivel
de chapa?
9) O plano + + 2 = 2 intersecta o parabol´oide = 2 + 2 numa elipse. Determine os pontos
dessa elipse que est~
ao mais pr´
oximo(s) e mais distante(s) da origem.

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 15
Ano Lectivo 2009/2010

1) Calcule os seguintes integrais duplos.
)

)




)



)



)

)
)

)






)



)



0

0

0

0

0

0

2

1

0

0

2 3

+

)



)



0

1

1

e

+



0

3 1

+

)



)



0

2

0

2 2 +

-1

1 1



0

2

+ - 3

/2 /2

sen ( + )

)

)

0

4 1




-1



4 2



(2 + 2 )

( + )

)
)

0

1 2





ln 2

ln 5

1

2-

)



)



0

0

1 e
1


2

0

1


0

0

1

0


2

sen cos
0



+


1

-1

0



4 2
0

1



+1




2

- ln

1


3 1

(1 + 4)

0

2


2

sen

0

2 1

(2 + )8

2 1

( + )-2

0

0

1

1

0

2) Calcule os seguintes integrais triplos.
)

)
)

)

)







0

0

0

0

0

1 1 1
0

2

0

1 2 3



1 1 1

e+

0

0

)
)

0


2





2

cos

)

0

1 2 3
1

2 3

0

0

2

)

2

cos [( + + )]

)







0

0




2



2

1 1

-1

0

0
1
-1

2



2





2 + 3 +
e-

0

3 1

sen

1

cos + 2

0



+ 2 + 1

0

1 1 1


0

sen2 sen2

0

-1

0


2

0


2



0

1

cos sen e

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 16
Ano Lectivo 2009/2010

1) Calcule os seguintes integrais duplos.

{
}
(62 3 - 5 4 ) , onde = (, ) R2 : 0 3, 0 1
)


)



)



)



)



)



)



)



cos , onde ´e limitada por = 0, = 2 , = 1

)



( + ) , onde ´e limitada por =



2 , onde ´e limitada por = 0 e =



3 , onde ´e a regi~
ao triangular com v´ertices (0, 2), (1, 1) e (3, 2)













{
}
cos( + 2) , onde = (, ) R2 : 0 , 0 2
{
}
4
2 : 0 2, -
,
onde

=
(,
)

R
3 + 2
{
}
2
, onde = (, ) R2 : 0 1, 0
2
1+

{
}
2
, onde = (, ) R2 : 0 1, 0

{
}

, onde = (, ) R2 : 1 2, 3


{
}
2 - 2 , onde = (, ) R2 : 0 1, 0





e = 2



)



)



1 - 2



2) Calcule



para as fun¸c~
oes e regi~
oes de integra¸c~ao indicadas, utilizando as duas poss´iveis


ordens de integra¸c~
ao.
{
}
) (, ) = e = (, ) R2 : 0 2 0 2
) (, ) = e+ e = {(, ) R2 : + 1}

) (, ) = cos e = {(, ) R2 : 0


2

0 cos }

) (, ) = ( + )2 e = {(, ) R2 : 1 2 - 0 1}

2
e a regi~
ao limitada pelas rectas = 2, = e pela hip´erbole = 1.
2
}
{



2
2
2
) (, ) = arctg e = (, ) R : 1 + 3 3

3
) (, ) =



3) Calcule

para as fun¸c~
oes e regi~
oes de integra¸c~ao indicadas.


) (, ) = 3 e R2 ´e a regi~
ao limitada pelas rectas = 0 e = 0 e pela par´
abola
2
= -4 + 3
) (, ) = 2 e R2 ´e a regi~
ao limitada pelas rectas = , = 2 e = 2
) (, ) = + , onde R2 ´e o rect^
angulo definido pelos v´ertices (0, 1), (1, 0), (3, 4) e (4, 3)
) (, ) = 2 2 , onde R2 ´e a regi~
ao limitada por 1 2 e 0
) (, ) = cos( + ), onde R2 ´e o tri^
angulo definido pelos v´ertices (0, 0), (, 0), (0, )
) (, ) = + e ´e a regi~
ao definida por 0 sen e 0 .
4) Esboce a regi~
ao de integra¸c~
ao e fa¸ca a mudan¸ca da ordem de integra¸c~ao.
1 2-
1
(, )
)
(, )
)
0

)
)
)
)









0

1


2

0

0

2

(, )

)


2


2-2

2

(, )

2-
sen

(, )

)
)

0

4

2

0

0

4

-4
2


- 4-

(, )

)








1

4 2


1

-1

1

2 2 -1

-

(, )



1- 2

ln

(, )

0


0



(, )





sen

(, )
- sen /2

5) Calcule, trocando a ordem de integra¸c~
ao, os integrais seguintes.
1 1
1 3
2
)
3 + 1

)

0

)



)



)



0

0

0

3
3 9

0

cos(2 )

)

2

1


2

cos

arcsen

1 arcsen



1 + cos2

)





0

0



1 1

3 sen( 3 )

2

8 2

3

4





sen

0

6) Calcule os seguintes integrais triplos.
)
)
)
)
)




0

0

1
0



3 1







0

0

+

6


1- 2




0

)
)




0

0

1 2


1
0

2

0





2

-

0





2 , onde = {(, , ) R3 : 0 2, 0



cos(5 ) , onde = {(, , )R3 : 0 1, 0 , 2}

4 - 2 , 0 }

, com a regi~
ao limitada pelos planos de equa¸c~ao = 0, = 0, = 0 e 2+2+ = 4


UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 17
Ano Lectivo 2009/2010

1) Calcule os seguintes integrais utilizando a mudan¸ca de coordenadas indicada.
1
)
+ onde = + e = - ;
0

)



0

0

1 1
0



1

onde = e =
2
1 + + 2

2) Utilize coordenadas polares para calcular os integrais indicados.
2 4-2
1 1-2
2
2
2 2
)
e +
)
2
)

)

)
)





2
-2

0

0

0

0

0






- 4-2

2
1





)

+

2-2

2

2

)

( + )
0

9-2





4-2

1-2



2 + 2 +



1

3



9-2

0






-

0
-

1



2
2



4-



1-2


-



2 + 2

0

2 + 2

(
)
ln 2 + 2 , onde R2 ´e a regi~
ao do primeiro quadrante definida por 2

2 + 2 2 , com , R tais que 0 < < .

}
{

1 - 2 - 2 , onde = (, ) R2 : 0 1 0 1 - 2 .
)


3) Utilize coordenadas cil´indricas para calcular os seguintes integrais.


1-2

1

1-2 - 2

)

0

0

)

)

)





2
-2

0





4-2


- 4-2

1-2

1

0

1
-1



)



)





0



4-2 -2
0



1-2


- 1-2

2 + 2

2

sen(2 + 2 )

0



2-2 - 2
2 + 2



2 + 2
{

}


1 - 2 0 4 - (2 + 2 )



, onde = (, , ) R3 : 0 1 0



3 , onde = (, , ) R3 : - 1 1 0

{



1 - 2

}

2 + 2 1

4) Utilize coordenadas esf´ericas para calcular os seguintes integrais.
2 4-2 8-2 -2
1 1-2 2-2 -2
)
2 + 2 + 2

)


0

3

)



)



0

0

0

2 + 2

0


9-2

0

2 + 2

9-2 -2
2 + 2 + 2
0

1
,
2 + 2 + 2


{
}


onde = (, , ) R3 : 0 1 0 1 - 2 0 1 - 2 - 2

5) Calcule o integral das fun¸c~
oes que se seguem na regi~
ao indicada.

) (, ) = e R2 ´e a regi~
ao do primeiro quadrante limitada pelo c´irculo de equa¸c~
ao
2 + 2 9 e pelas rectas de equa¸ca~o = e = 0.
{
}
) (, ) = e = (, ) R2 : 2 + 2 4 .
) (, ) = ln(2 + 2 ) e R2 ´e a regi~
ao do primeiro quadrante definida por 1 2 + 2 4.
}
{


) (, ) = 1 - 2 - 2 e = (, ) R2 : 0 1 0 1 - 2 .

{
}
3
) (, ) = (2 + 2 ) 2 e = (, ) R2 : 2 + 2 1 .
{
}
) (, ) = 2 e = (, ) R2 : 0 2 + 2 1 .

) (, , ) = 2 e ´e a regi~
ao definida por 2 + 2 2 e 0 , onde , R.

) (, , ) = 2 sen e ´e a regi~
ao limitada pelos planos = 0, + = 1, = 0, = 0 e = .
) (, , ) = e o tetraedro limitado pelo plano + + = 1 e pelos planos das coordenadas.

olido limitado pelo plano = 4 e pelo parabol´oide = 2 + 2 .
) (, , ) = 2 + 2 e ´e o s´
) (, , ) = e R3 ´e a regi~
ao definida pelas condi¸c~oes 2 + 2 1, 0 e 2 2 + 2 .
1

e ´e a regi~
ao limitada pelo cilindro 2 + 2 = 1, os planos = -3 e
2 + 2
= 3 e que verifica a condi¸c~
ao 0.

) (, , ) =

) (, , ) = 7 e ´e a regi~
ao limitada pelo cilindro 2 + 2 = 2 e os planos = 0, = 0 e
= , com > 0.

ao contida dentro do cilindro 2 + 2 = 16 e entre os
) (, , ) = 2 + 2 e R3 ´e a regi~
planos = -5 e = 4.
3

) (, , ) = (3 + 2 ) 2 e R3 ´e o s´
olido do primeiro octante que est´
a abaixo do parabol´oide
= 1 - 2 - 2 .

) (, , ) = 2 + 2 + 2 e R3 ´e a bola unit´
aria 2 + 2 + 2 1.

) (, , ) = e R3 ´e o s´
olido que est´
a entre os cilindros 2 + 2 = 1 e 2 + 2 = 4 acima
do plano e abaixo do plano = + 2
) (, , ) = e R3 ´e o s´
olido limitado pelos planos = 0, = + 2 e pelo cilindro
2 + 2 = 1.
2

2

2 2

olido que est´
a no primeiro octante e entre as esferas
) (, , ) = e( + + ) e R3 ´e o s´
2 + 2 + 2 = 1 e 2 + 2 + 2 = 4.
3
2 + 2 + 2 ) 2

e R3 ´e a bola unit´
aria.

{
}

e = (, , ) R3 : 1 2 + 2 + 2 9 0 .
) (, , ) =
2 + 2 + 2
) (, , ) = e(

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

1 Ciclo em Bioengenharia

alculo II
Ficha 18
Ano Lectivo 2009/2010

1) Determine a ´
area das regi~
oes indicadas.
{
}
) = (, ) R2 : 3 + 2 4
{
}
) = (, ) R2 : 2 0 1
{
}
) = (, ) R2 : 2 + 2 16
{
}
) = (, ) R2 : 1 1
{
}
) = (, ) R2 : 42 + 9 2 36 > 0 > 0
{
}
) = (, ) R2 : 1 -2
{
}
2 2
2
) = (, ) R : 2 + 2 1 , onde , R


{
}
) = (, ) R2 : 2 + 2 1 + - 1 0 . Escreva uma express~
ao para a ´
area
de em termos de integrais iterados nas duas ordens de integra¸c~ao poss´iveis.
2) Determine o volume dos seguintes s´
olidos.
) O s´
olido limitado pelo cilindro = 2 e os planos = 0 e + = 1.
) O s´
olido limitado pelas superf´icies = 0, = e 2 + 2 = 1.
) O s´
olido limitado pelo parabol´
oide = 4 - 2 - 2 e o plano = 0.

) O s´
olido definido por 2 + 2 + , 0 e 0 1.

) O s´
olido limitado pelo parabol´
oide = 22 + 2 e pela superf´icie = 4 - 2 .

) O cone circular de raio e altura .
) O s´
olido limitado pelas superf´icies 2 + 2 2 = 2, = 0 e + + 2 = 2.
) O s´
olido definido por 2 + 2 1 e 2 + 2 + 2 5.
{
}
) O s´
olido = (, , ) R3 : 0 1, 0 1 - , 0 1 - - .
) A parte da esfera unit´
aria centrada na origem situada no primeiro octante.

) A parte do cilindro el´iptico 42 + 2 4 limitada pelos planos = 0 e = 4.
) A intersec¸c~
ao dos parabol´
oides 2 + 2 e 18 - 2 - 2 .

3) Usando coordenadas cil´indricas determine o volume da por¸c~ao da esfera 2 + 2 + 2 2 que se
intersecta com o cilindro 2 + 2 .
4) Usando coordenadas esf´ericas determine o volume do cone 2 + 2 2 tal que 0 1.
5) Determine o volume do s´
olido limitado superiormente pela esfera unit´
aria de centro na origem e
inferiormente por:
) o cone 2 = 2 + 2 ;
) a superf´icie = 2 + 2 .