Cálculo II

Bioengenharia

César Silva
Departamento de Matemática
Universidade da Beira Interior

2009/2010

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

1 / 460

Bibliografia
­ Apostol, T.M., Cálculo, Vol. 1 e 2, Reverté, 1993
­ Azenha, A., Jerónimo, M. A., Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em R e
Rn , McGraw-Hill, 1995
­ Dias Agudo, F.R., Análise Real, Vol. I, Escolar Editora, 1989
­ Demidovitch, B., Problemas e exercícios de Análise Matemática, McGrawHill,
1977
­ Lima, E. L., Curso de Análise, Vol. 1 e 2, Projecto Euclides, IMPA, 1989
­ Lima, E. L., Análise Real, Vol. 1 e 2, Colecção Matemática Universitária, IMPA,
2004
­ Mann, W. R., Taylor, A. E., Advanced Calculus, John Wiley and Sons, 1983
­ Sarrico, C., Análise Matemática ­ Leituras e exercícios, Gradiva, 3a Ed., 1999
­ Stewart, J., Calculus (International Metric Edition), Vol. 1 e 2, Brooks/Cole
Publishing Company, 2008
­ Swokowski, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1 e 2, McGrawHill,
1983
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2 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

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3 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Séries de números reais
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

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4 / 460

Índice
1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Definição e exemplos
Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Sucessões convergentes
Subsucessões
Infinitamente grandes
Séries de números reais
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
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5 / 460

Índice
1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Definição e exemplos
Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Sucessões convergentes
Subsucessões
Infinitamente grandes
Séries de números reais
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
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§1.1.1

Definição e exemplos

Uma sucessão é uma correspondência que a cada número natural n
faz corresponder um e um só número real.
Assim, uma sucessão é uma função real de variável natural, ou seja,
uma sucessão é uma função
u : N R.

Para designarmos o valor da função em n costuma usar-se a notação
un em vez de u(n).

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§1.1.1

Definição e exemplos

Aos valores
u1 , u2 , . . . , un , . . .
chamamos termos da sucessão e
ao valor u1 chamamos termo de ordem 1 ou primeiro termo
da sucessão;
ao valor u2 chamamos termo de ordem 2 ou segundo termo
da sucessão;
ao valor u3 chamamos termo de ordem 3 ou terceiro termo da
sucessão;
etc
À expressão un chamamos termo geral da sucessão.

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§1.1.1

Definição e exemplos

Escreveremos
(u1 , u2 , . . . , un , . . .),
ou
(un )nN ,
ou simplesmente
(un )
para indicar a sucessão u.
O conjunto
u(N) = {un : n N}

designa-se por conjunto dos termos da sucessão (un )nN .

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§1.1.1

Definição e exemplos

Exemplos de sucessões
a) Façamos
isto é,

un = 1 para todo o n N,
(1, 1, . . . , 1, . . .)

é a sucessão constante e igual a 1. Mais geralmente, dado c R e
fazendo
vn = c para qualquer n N,

temos a sucessão constante e igual a c. Neste caso
v(N) = {c} .

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§1.1.1

Definição e exemplos

Exemplos de sucessões (continuação)
b) Consideremos a sucessão de termo geral un = (-1)n .
O primeiro termo desta sucessão é u1 = (-1)1 = -1.
O segundo termo desta sucessão é u2 = (-1)2 = 1.
O terceiro termo desta sucessão é u3 = (-1)3 = -1.
O quarto termo desta sucessão é u4 = (-1)4 = 1.
E assim sucessivamente.
Podemos concluir que os termos de ordem par são todos iguais a 1 e
que os termos de ordem ímpar são todos iguais a -1. Assim, a lista
que se segue dá-nos todos os termos da sucessão
-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, . . .

e o conjunto dos termos desta sucessão é

u(N) = {-1, 1} .
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§1.1.1

Definição e exemplos

Exemplos de sucessões (continuação)
c) Seja u a sucessão definida por
un = n.
Então
u(N) = N.

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§1.1.1

Definição e exemplos

Exemplos de sucessões (continuação)
d) Seja

1
para todo o n N.
n
Podemos escrever esta sucessão das seguintes formas:
un =

1
1 1 1
1, , , , . . . , , . . . ,
2 3 4
n
ou

1
n

ou

1
.
n

Neste exemplo temos u(N) =
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,
nN

1
:nN .
n

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§1.1.1

Definição e exemplos

Observação
O exemplo a) mostra que
(un )nN
e
u(N)
são coisas diferentes e que, por conseguinte, não devem ser
confundidas. Neste exemplo tem-se
(un ) = (1, 1, 1, . . . , 1, . . .),
enquanto que
u(N) = {1} .

Algo de semelhante acontece no exemplo b).

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Índice
1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Definição e exemplos
Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Sucessões convergentes
Subsucessões
Infinitamente grandes
Séries de números reais
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
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§1.1.2

Sucessões limitadas e sucessões monótonas

Uma sucessão (un )nN diz-se limitada se existirem números reais a e b
tais que
a un b para todo o n N;

ou ainda, se existirem números reais a e b tais que

un [a, b] para todo o n N.
Como todo o intervalo [a, b] está contido num intervalo da forma
[-c, c], para algum c R, uma sucessão (un ) é limitada se existir um
número real c > 0 tal que
un [-c, c] para todo o n N,
o que é equivalente a existe c > 0 tal que
|un | c para todo o n N.
As sucessões que não são limitadas dizem-se ilimitadas.
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§1.1.2

Sucessões limitadas e sucessões monótonas

Exemplos
a) A sucessão de termo geral
un = 4 + (-1)2 =

3
5

se n é ímpar;
se n é par;

é limitada pois
3 un 5 para qualquer número natural n.

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§1.1.2

Sucessões limitadas e sucessões monótonas

Exemplos (continuação)
b) Consideremos a sucessão de termo geral
un =
Como

n+2
.
n

n 2
2
n+2
= + =1+
n
n n
n

podemos concluir que
1 un 3 para cada número natural n.
Assim, esta sucessão é limitada.

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§1.1.2

Sucessões limitadas e sucessões monótonas

Exemplos (continuação)
c) A sucessão un = n2 não é limitada. De facto,
u1 = 1; u2 = 4; u3 = 9; u4 = 16; . . .
pelo que a sucessão não é limitada superiormente.
d) A sucessão de termo geral vn = -n também não é limitada pois
v1 = -1; v2 = -2; v3 = -3; . . .
ou seja, esta sucessão não é limitada inferiormente.

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§1.1.2

Sucessões limitadas e sucessões monótonas

Uma sucessão (un )nN diz-se crescente se
un+1 un para todo o n N
e diz-se decrescente se
un+1 un para todo o n N.
Equivalentemente, (un )nN é crescente se
un+1 - un 0 para todo o n N
e é decrescente se
un+1 - un 0 para todo o n N.
Uma sucessão diz-se monótona se for crescente ou se for decrescente.
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§1.1.2

Sucessões limitadas e sucessões monótonas

Exemplos de sucessões monótonas
a) Consideremos a sucessão de termo geral un =
un+1 - un =

2n - 1
. Como
n+1

2(n + 1) - 1
2n - 1
-
(n + 1) + 1
n+1

=

2n - 1
2n + 1
-
n+2
n+1

=

(2n + 1)(n + 1) - (2n - 1)(n + 2)
(n + 1)(n + 2)

=

2n2 + 2n + n + 1 - (2n2 + 4n - n - 2)
(n + 1)(n + 2)

=

2n2 + 3n + 1 - 2n2 - 3n + 2
(n + 1)(n + 2)

=

3
0
(n + 1)(n + 2)

para qualquer número natural n, a sucessão é crescente.
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§1.1.2

Sucessões limitadas e sucessões monótonas

Exemplos de sucessões monótonas (continuação)
b) Para a sucessão de termo geral un =

2n + 1
, temos
n

2(n + 1) + 1
2n + 1
-
n+1
n
2n + 1
2n + 3
-
=
n+1
n

un+1 - un =

=

(2n + 3)n - (2n + 1)(n + 1)
n(n + 1)

=

2n2 + 3n - (2n2 + 2n + n + 1)
n(n + 1)

=

2n2 + 3n - 2n2 - 3n - 1
n(n + 1)

=

-1
0
n(n + 1)

para qualquer número natural n. Logo a sucessão é decrescente.
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Índice
1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Definição e exemplos
Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Sucessões convergentes
Subsucessões
Infinitamente grandes
Séries de números reais
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
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§1.1.3

Sucessões convergentes

Dados uma sucessão (un )nN e um número real a, dizemos que (un )
converge ou tende para a se para qualquer > 0, existe N N tal
que
|un - a| < para todo o número natural n > N .

A condição

é equivalente às condições

|un - a| <

- < un - a < , a - < un < a +

e un ]a - , a + [.

Assim, uma sucessão (un ) converge ou tende para um número real a
se para qualquer > 0, existe N N tal que
a - < un < a + para cada número natural n > N ;

ou se para qualquer > 0, existe N N tal que

un ]a - , a + [ para cada número natural n > N .

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§1.1.3

Sucessões convergentes

Geometricamente, uma sucessão un tende para a se dado > 0 todos
os termos da sucessão estão na "faixa" limitada pela rectas y = a - e
y = a + a partir de determinada ordem. A figura seguinte ilustra esse
facto.
a+
a
a-

1

2

3

4

N

N +1 N +2 N +3 N +4

Interpretação geométrica do limite de uma sucessão
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§1.1.3

Sucessões convergentes

Qualquer uma das notações
lim un = a,

n

limn un = a,
lim un = a,
n

lim un = a,
un a
é usada para exprimir o facto de que a sucessão (un ) converge para a.
Uma sucessão (un )nN diz-se convergente se existe um número real a
tal que un a.
As sucessões que não são convergentes dizem-se divergentes.
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§1.1.3

Sucessões convergentes

As sucessões constantes são convergentes. Se un = c para qualquer
número natural n, temos |un - c|=0 para cada n N, pelo que, dado
> 0, tomando N = 1 vem
|un - c| < para qualquer n > N .
Logo (un ) converge para c.
1
A sucessão de termo geral un = converge para zero. De facto, dado
n
> 0, basta escolher um número natural N tal que N > 1 e, por
conseguinte, 1/N < . Assim, para n > N , temos
|un - 0| = 1/n < 1/N < ,
o que prova que un 0.
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27 / 460

§1.1.3

Sucessões convergentes

Unicidade do limite
Sejam (un ) uma sucessão e a e b dois números reais. Se
un a e un b,
então
a = b.

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§1.1.3

Sucessões convergentes

Dadas duas sucessões u = (un )nN e v = (vn )nN de números reais,
define-se a soma de u e v, e designa-se por u + v, a sucessão cujo
termo de ordem n é un + vn , isto é,
(u + v)n = un + vn .
De modo análogo se define a diferença, o produto e o quociente de
u e v (este último apenas na hipótese de se ter vn = 0 para todo o
n N):
(u - v)n = un - vn ,
(uv)n = un vn
e, na hipótese de vn = 0 para todo o n N,
u
v

César Silva (UBI)

=
n

un
.
vn

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29 / 460

§1.1.3

Sucessões convergentes

Assim, se u e v são as sucessões dadas por
1, 4, 9, . . . , n2 , . . .

e

1
1 1
1, , , . . . , , . . . ,
2 3
n

respectivamente, então u + v é a sucessão dada por
1
1
1
1 + 1, 4 + , 9 + , . . . , n2 + , . . .
2
3
n

=

9 28
n3 + 1
2, , , . . . ,
,...
2 3
n

e a diferença de u e v, u - v, é a sucessão
1
1
1
1 - 1, 4 - , 9 - , . . . , n2 - , . . .
2
3
n

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Cálculo II

=

7 26
n3 - 1
0, , , . . . ,
,... .
2 3
n

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30 / 460

§1.1.3

Sucessões convergentes

Continuando a usar as sucessões u e v dadas por
1, 4, 9, . . . , n2 , . . .

1 1
1
1, , , . . . , , . . . ,
2 3
n

e

o produto uv é a sucessão
1
1 1
1.1, 4. , 9. , . . . , n2 . , . . .
2 3
n
e o quociente

= (1, 2, 3, . . . , n, . . .)

u
é a sucessão
v

9
n2
1 4
,
,
,...,
,...
1 1/2 1/3
1/n

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= 1, 8, 27, . . . , n3 , . . . .

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31 / 460

§1.1.3

Sucessões convergentes

As sucessões que convergem para zero designam-se por infinitésimos.

O produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada é um
infinitésimo.

Exemplo
Para todo o x R, temos lim

n

sen(nx)
= 0. De facto,
n

1
sen(nx)
= sen(nx)
n
n
é o produto de um infinitésimo por uma sucessão limitada e, portanto,
converge para zero.
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32 / 460

§1.1.3

Sucessões convergentes

Álgebra dos limites
Sejam (un ) e (vn ) sucessões tais que lim un = a e lim vn = b. Então
a) (un + vn )nN é convergente e
lim(un + vn ) = lim un + lim vn = a + b;
b) (un - vn )nN é convergente e
lim(un - vn ) = lim un - lim vn = a - b;
c) (un . vn )nN é convergente e
lim(un . vn ) = lim un . lim vn = a . b;
un
vn

d) se b = 0 e vn = 0 para todo o n N,
lim
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un
vn

=

é convergente e
nN

lim un
a
= .
lim vn
b

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§1.1.3

Sucessões convergentes

Suponhamos que
un a

e que todos os termos un pertencem ao domínio de uma função f . Se f
é contínua em a, então
f (un ) f (a).
Como consequência imediata temos a seguinte propriedade.

Seja (un ) uma sucessão convergente para a R e p > 0. Então
a) se un a, então (un )p ap ;

b) se un 0 para todo o n N, então
César Silva (UBI)

Cálculo II



p u p a.
n
2009/2010

34 / 460

§1.1.3

Sucessões convergentes

Seja f é um função com domínio contendo o conjunto dos números
naturais. Se
lim f (x) = a,
x+

então
lim f (n) = a.

n+

Exemplo
Como
lim

1+

1
x

x

lim

1+

1
n

n

x+

temos
n+
César Silva (UBI)

Cálculo II

= e,
= e.
2009/2010

35 / 460

§1.1.3

Sucessões convergentes

Teorema da sucessão enquadrada
Sejam (un ), (vn ) e (wn ) sucessões e suponha-se que existe uma ordem
p N tal que
un vn wn para todo o número natural n > p.
Se un a e wn a, então

César Silva (UBI)

vn a.

Cálculo II

2009/2010

36 / 460

§1.1.3

Sucessões convergentes

Exemplo de aplicação do teorema da sucessão enquadrada
Vejamos que
4+

1
2.
n2

Como
2

4+

1

n2

4+4

1
+
n

1
n

2

=

2+

1
n

2

=2+

1
n

e

1
2,
n
pelo teorema da sucessão enquadrada temos de ter
2+

4+
César Silva (UBI)

1
2.
n2

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37 / 460

§1.1.3

Sucessões convergentes

Toda a sucessão convergente é limitada.

Observação
O recíproco não é verdadeiro. A sucessão de termo geral un = (-1)n é
limitada, mas não é convergente.

Todas as sucessões ilimitadas são divergentes.

Exemplo
Já vimos que a sucessão de termo geral un = n2 não é limitada. Logo
não é convergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

38 / 460

§1.1.3

Sucessões convergentes

As sucessões monótonas e limitadas são convergentes.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

39 / 460

Índice
1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Definição e exemplos
Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Sucessões convergentes
Subsucessões
Infinitamente grandes
Séries de números reais
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

40 / 460

§1.1.4

Subsucessões

Se (un ) é uma sucessão e (nk ) é uma sucessão de números naturais
estritamente crescente, isto é,
n1 < n2 < . . . < nk < nk+1 < . . . ,
a sucessão
(unk ) = (un1 , un2 , . . . , unk , . . .)
diz-se uma subsucessão de (un ).

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

41 / 460

§1.1.4

Subsucessões

As subsucessões de uma sucessão convergente são convergentes para o
mesmo limite da sucessão.

Exemplo
A sucessão de termo geral
un = (-1)n
é divergente pois tem duas subsucessões que convergem para valores
diferentes.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

42 / 460

§1.1.4

Subsucessões

Teorema de Bolzano-Weierstrass
Todas as sucessões limitadas têm subsucessões convergentes.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

43 / 460

Índice
1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Definição e exemplos
Sucessões limitadas e sucessões monótonas
Sucessões convergentes
Subsucessões
Infinitamente grandes
Séries de números reais
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
César Silva (UBI)

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44 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Existem sucessões divergentes que, pelas propriedades de que gozam,
merecem ser estudadas. Essas sucessões designam-se por infinitamente
grandes.
Diz-se que uma sucessão (un ) tende para mais infinito ou que é um
infinitamente grande positivo, e escreve-se
un +,

ou

lim un = +,

se para cada L > 0, existe p N tal que
un > L para qualquer natural p > N .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

45 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Se -un + diz-se que (un ) tende para menos infinito ou que a
sucessão (un ) é um infinitamente grande negativo e escreve-se
un -,

ou

lim un = -.

Diz-se ainda que (un ) tende para infinito ou que (un ) é um
infinitamente grande se |un | + e escreve-se
un

César Silva (UBI)

ou

Cálculo II

lim un = .

2009/2010

46 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Exemplos
A sucessão de termo geral
un = n
tende para mais infinito, a sucessão de termo geral
vn = -n
tende para menos infinito e a sucessão de termo geral
wn = (-1)n n
tende para infinito. A sucessão (wn ) é um exemplo de um infinitamente
grande que não é nem um infinitamente grande positivo, nem um
infinitamente grande negativo.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

47 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Observações
a) Os infinitamente grandes positivos e os infinitamente grandes
negativos, são infinitamente grandes. A sucessão de termo geral
wn = (-1)n n
mostra que o contrário nem sempre se verifica.
b) Resulta imediatamente da definição que se un +, então (un ) é
limitada inferiormente.
c) Da definição resulta imediatamente que se (un ) e (vn ) são duas
sucessões tais que
un vn a partir de certa ordem e un +,
então

César Silva (UBI)

vn +.
Cálculo II

2009/2010

48 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Sejam (un ) e (vn ) duas sucessões de números reais.
a) Se un + e (vn ) tende para a R ou para +, então
(un + vn ) +.
b) Se un - e (vn ) tende para a R ou para -, então
(un + vn ) -.
c) Se un e (vn ) tende para a R, então
(un + vn ) .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

49 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Vê-se assim que pode usar-se a regra do limite da soma desde que se
adoptem as convenções
(+) + a = + = a + (+)
(-) + a = - = a + (-)

+a ==a+

(+) + (+) = +
(-) + (-) = -
onde a é um número real qualquer.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

50 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Observação
Se
un +

e

vn -,

então nada se pode dizer sobre (un + vn ) pois em alguns casos
(un + vn ) é convergente, noutros é divergente. Por isso, não fazemos
nenhuma convenção para o símbolo
(+) + (-);
este símbolo designa-se por símbolo de indeterminação. Algo de
semelhante acontece com
- .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

51 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Sejam (un ) e (vn ) duas sucessões de números reais.
a) Se un + e se (vn ) tende para a > 0 ou tende para +, então
un .vn +.

b) Se un + e se (vn ) tende para a < 0 ou tende para -, então
un .vn -.

c) Se un - e se (vn ) tende para a > 0 ou tende para +, então
un .vn -.

d) Se un - e se (vn ) tende para a < 0 ou tende para -, então
un .vn +.

e) Se un e (vn ) tende para a R \ {0} ou tende para , então
un .vn .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

52 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Adoptando as convenções que se seguem, vê-se que se pode usar a
regra do limite do produto:
(+) × a = + = a × (+) onde a R+

(-) × a = - = a × (-) onde a R+

(+) × a = - = a × (+) onde a R-

(-) × a = + = a × (-) onde a R-

× a = = a × onde a R \ {0}

(+) × (+) = + = (-) × (-)
(+) × (-) = - = (-) × (+)

×=

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

53 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Observação
Não se faz nenhuma convenção para os símbolos
0 × (+),
0 × (-)

e

0 × ,

pois são símbolos de indeterminação.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

54 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Seja (un ) uma sucessão de termos não nulos.
a) Se un , então

1
0.
un

b) Se un 0, então

1
.
un
c) Se un 0 e un > 0 a partir de certa ordem, então
1
+.
un

d) Se un 0 e un < 0 a partir de certa ordem, então
1
-.
un

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

55 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

A regra do limite quociente pode manter-se desde que se adoptem as
seguintes convenções
1
=0


1
=
0

1
= +
0+

1
= -
0-

onde 0+ significa que
un 0 e un > 0 a partir de certa ordem
e 0- significa que
un 0 e un < 0 a partir de certa ordem.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

56 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Observação
Os símbolos
e



0
0

são símbolos de indeterminação.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

57 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Exemplo
a) Dado a R, consideremos a sucessão de termo geral un = an .
Se a > 1, então temos an +.
Quando a = 1, então un = 1n = 1 pelo que a sucessão tende para 1.
Se a < -1, então an .
Para a = -1 obtemos a sucessão (-1)n que já vimos anteriormente.
Esta sucessão é divergente.
Se -1 < a < 1, então an 0.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

58 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Exemplo (continuação)
a) (continuação) Assim,

lim an =



+






1




0






não existe








César Silva (UBI)

Cálculo II

se a > 1
se a = 1
se -1 < a < 1

se a = -1
se a < -1

2009/2010

59 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Exemplo (continuação)
b) Calculemos lim (3n - 2n ). Como lim 3n = + e lim 2n = +,
temos uma indeterminação do tipo
- .

No entanto, pondo em evidência 3n temos
lim (3n - 2n ) = lim 3n 1 -

2n
3n

= lim 3n 1 -

2
3

n

= + × (1 - 0)

= + × 1
= +

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

60 / 460

§1.1.5

Infinitamente grandes

Exemplo (continuação)
c) Calculemos lim

2n + 5n+1
. Temos uma indeterminação pois
2n+1 + 5n

lim

2n + 5n+1
+
+ + (+)
=
.
=
n+1
n
2
+5
+ + (+)
+

Podemos levantar a indeterminação da seguinte forma

lim

2n

5n+1

+
2n+1 + 5n

César Silva (UBI)

2n 5n × 5
+
+ ×5
5n
5n
= lim n
=
lim
n
2 × 2 5n
2 × 2 + 5n
+ n
5n
5
2 n
+5
0+5
5
=
= lim
=5
n
2
0×2+1
×2+1
5
2n

5n

Cálculo II

2009/2010

61 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Séries de números reais
Definição e exemplos
Séries de termos não negativos
Critério de Leibniz; convergência absoluta
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

62 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Séries de números reais
Definição e exemplos
Séries de termos não negativos
Critério de Leibniz; convergência absoluta
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

63 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Paradoxo de Aquiles

Numa corrida entre um atleta velocista (Aquiles) e uma tartaruga é
dada uma vantagem inicial em termos de distância à tartaruga. Zenão
defende que Aquiles jamais alcançará a tartaruga porque quando
chegar ao ponto onde a tartaruga partiu, ela já terá percorrido uma
nova distância; e quando Aquiles percorrer essa nova distância, a
tartaruga já terá percorrido uma nova distância e assim sucessivamente.
Este famoso paradoxo foi proposto por Zenão da Elea no século V a.c..

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

64 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

200 m

40 m

8m

Suponhamos que a vantagem inicial que Aquiles dá à tartaruga é
200 m, que a velocidade de Aquiles é 5 m/s e que a velocidade da
200

= 40 s para chegar ao ponto de
tartaruga é 1 m/s. Aquiles demora
5
onde a tartaruga partiu. Entretanto, a tartaruga percorreu
40
1 × 40 = 40 m. Em seguida, Aquiles demorou
= 8 s para chegar onde
5
a tartaruga estava e a tartaruga andou 1 × 8 = 8 m e assim
sucessivamente...

Será que Aquiles consegue alcançar a tartaruga?

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

65 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

No primeiro ponto, o ponto inicial da tartaruga, Aquiles percorreu
200
metros; no ponto seguinte Aquiles percorreu (no total)
200
200 +
5
metros; no terceiro ponto Aquiles percorreu
200 200/5
200 200
+
= 200 +
+ 2
5
5
5
5
metros; no quarto ponto Aquiles percorreu
200 200 200
200 +
+ 2 + 3
5
5
5
metros; e assim sucessivamente. O paradoxo de Aquiles tem por detrás
aquela que, provavelmente, foi a primeira série da história!
200 +

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

66 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Se (an ) é uma sucessão de números reais, chamaremos série gerada por
(an ) à expressão
a1 + a2 + · · · + an + · · ·
obtida por adição (formal) dos termos da sucessão.

A cada série fica associada uma sucessão (sn ), a que se chama
sucessão das somas parciais de (an ), definida por
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
..
.
sn = a1 + a2 + · · · + an
..
.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

67 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

A série diz-se convergente ou divergente conforme seja convergente
ou divergente a sucessão das somas parciais (sn ). Quando a série é
convergente, o limite da sucessão (sn ) designa-se por soma ou valor
da série.
Para representarmos a série (ou a sua soma, quando exista) usam-se os
símbolos
a1 + a2 + · · · + an + · · · ;



an ;

an

n=1

e o contexto onde se usam estes símbolos indicará se estão a
representar a série ou a sua soma.
Dizemos que duas séries são da mesma natureza se são ambas
convergentes ou ambas divergentes.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

68 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Observação
Em certos casos pode haver vantagem em que o primeiro valor que o
índice n toma seja um inteiro diferente de um, o que não traz nenhuma
dificuldade na teoria que irá ser exposta. Assim,


1
n
-
1
n=2

e



1
n
+
1
n=0

designam a mesma série, enquanto que


1
n
n=6
designa uma série diferente.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

69 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Exemplo


2
, representamos abaixo os primeiros termos da
n(n
+ 1)
n=1
2
e da sucessão (sn ) das somas parciais
sucessão de termo geral an =
n(n + 1)

Para a série

2

a1

s3

s2

s10

s9

s8

s7

s6

s5

s4

s1
a2

1

2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

3

4

5

6

7

8

9

10

Aparentemente a sucessão das somas parciais aproxima-se de 2...
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

70 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Exemplo (continuação)
De facto, atendendo a que
n

sn =
k=1
n

=
k=1

2
2
2
= -
conclui-se que
k(k + 1)
k k+1

2
k(k + 1)
2
2
-
k k+1

2
2
2 2 2 2 2
+ - + - + ···+ -
2 2 3 3 4
n n+1
2
= 2-
n+1

= 2-

e portanto

2
n+1
Conclui-se que a série converge e tem soma s = 2.
s = lim sn = lim 2 -

César Silva (UBI)

Cálculo II

= 2.

2009/2010

71 / 460

§1.2.1
Série harmónica
A série

Definição e exemplos



1
n
n=1

designa-se por série harmónica. Consideremos ainda a respectiva sucessão
das somas parciais e tomemos a subsucessão dessa com termos com índice da
forma 2k , ou seja, a subsucessão (s2k ):
1
1
>
2
2
1 1
1
1
1
= s2 + + > + 2 × = 2 ×
3 4
2
4
2
1 1 1 1
1
1
1
= s22 + + + + > 2 × + 4 × = 3 ×
5 6 7 8
2
8
2

s2 = 1 +
s22
s23

k
k
Em geral temos s2k > . Como lim = +, concluímos que lim sn = + e,
2
2
consequentemente, a série harmónica é divergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

72 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Série geométrica
Dado r R, consideremos a série



r n que habitualmente se designa

n=0

por série geométrica. A sucessão (sn )nN0 das somas parciais será,
neste exemplo, dada por
sn = 1 + r + · · · + r n =
Isto permite-nos concluir que
a série geométrica é


n+1

1 - r

1-r

n + 1

convergente
divergente

Além disso, quando |r| < 1 a sua soma é igual a
César Silva (UBI)

Cálculo II

se r = 1
se r = 1.

se |r| < 1,
se |r| 1.
1
.
1-r
2009/2010

73 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Sejam
an e
bn duas séries convergentes cujas somas são A e B,
respectivamente. Então a série
(an + bn )
é convergente e a sua soma é A + B.

Seja
an uma série convergente cuja soma é A e seja um número
real. Então a série
(an )
é convergente e a sua soma é A.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

74 / 460

§1.2.1

Se

Definição e exemplos

an é uma série convergente e

bn é uma série divergente, então

(an + bn )
é uma série divergente.

Note-se no entanto que, se
série

an e

bn são duas séries divergentes, a

(an + bn )
pode ser convergente ou divergente.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

75 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Exemplos
+

a) A série
n=1

1
1
+ n-1
n(n + 1)
5
+

n=1

é convergente porque as séries

1
n(n + 1)

+

e
n=1

1
5n-1

também são convergentes. Além disso, como
+

n=1

1
=
n(n + 1)

+

n=1

2
1
,
2 n(n + 1)

podemos concluir que a sua soma é 1 pois já sabemos que soma da série
+

+

+

2
1
1
é 2. Quanto à série
=
é uma série geométrica
n(n + 1)
5n-1
5n
n=1
n=1
n=0
1
5
1
= . Assim, a soma da série
de razão e a sua soma é
5
1 - 1/5
4
+

n=1

1
1
+ n-1
n(n + 1)
5

César Silva (UBI)

é 1+

5
9
= .
4
4
Cálculo II

2009/2010

76 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Exemplos (continuação)
b) A série
+
n=1

7
3n-1

+

1
n

é divergente porque a série
+
n=1

+

7
3n-1

=

7
n=1

1
3

n-1

é convergente e a série
+

1
n
n=1
é divergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

77 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Voltemos ao exemplo inicial de Aquiles e da tartaruga. A série
envolvida neste exemplo é
1
200 +
=
200
n
5
5
n=0
n=0
+

.

1
1
< 1 e a sua
é convergente pois
5
5

Como série geométrica de razão
soma é

n

1
5
= , o ponto onde Aquiles ultrapassa a tartaruga é
1 - 1/5
4
200 ×

César Silva (UBI)

5
= 250 m.
4

Cálculo II

2009/2010

78 / 460

§1.2.1

Definição e exemplos

Nem sempre é fácil calcular a soma de uma série convergente, não se
conhecendo mesmo uma expressão para a soma de algumas séries
bastante simples. Assim, no que se segue, vamos estudar critérios que
nos permitem saber se uma série é ou não convergente, sem estarmos
preocupados com a soma no caso da série ser convergente.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

79 / 460

§1.2.1

Se

Definição e exemplos

an é uma série convergente, então lim an = 0.

Assim, se (an ) não converge para 0, a série an é divergente. Por
exemplo, a série
n
n+1
n
é divergente porque a sucessão
converge para um.
n + 1 nN
No entanto, o recíproco deste teorema não é válido pois a série
harmónica
1
n
1
convergir para zero.
é divergente apesar da sucessão
n nN
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

80 / 460

§1.2.1

Sejam

an e

Definição e exemplos

bn duas séries. Suponhamos que existe N N tal que

an = bn para qualquer número natural n > N.
Então
an e

bn

são da mesma natureza.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

81 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Séries de números reais
Definição e exemplos
Séries de termos não negativos
Critério de Leibniz; convergência absoluta
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

82 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Nesta secção vamos estudar séries de números reais não negativos, ou
seja, séries
an tais que
an 0 para cada n N.
Obviamente, pelo que já vimos anteriormente, a teoria que vamos
apresentar mantém-se válida se
an 0 a partir de certa ordem.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

83 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Critério geral de comparação
Sejam

an e

bn séries de termos não negativos tais que
an bn a partir de certa ordem.

a) Se

bn é convergente, então

b) Se

an é divergente, então

César Silva (UBI)

an também é convergente.
bn também é divergente.

Cálculo II

2009/2010

84 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Exemplos de aplicação do critério geral de comparação

a) Consideremos a série
0



1
. Uma vez que
n2
n=1

2
2
1

para qualquer número natural n
=
2
n
n(2n)
n(n + 1)

e, como vimos anteriormente, a série


2
n(n + 1)
n=1
é convergente, podemos afirmar que a série


1
é convergente.
n2
n=1
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

85 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Exemplos de aplicação do critério geral de comparação (continuação)

b) Estudemos a série



1
, 2.
n
n=1
Como
0

1
1
2 para qualquer n N e qualquer 2
n
n

e a série

1
é convergente, a série
n2
1
também é convergente quando 2.
n

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

86 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Exemplos de aplicação do critério geral de comparação (continuação)

c) A série



1
é divergente para 1
n
n=1
pois
0
e a série

1
1
para cada n N e para cada 1
n
n
1
n

é divergente.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

87 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Séries de Dirichlet
As séries



1
,
n
n=1

com R, designam-se por séries de Dirichlet. Nos exemplos
anteriores já estudámos a natureza destas séries quando 1 e 2.
Quando 1 < < 2, a série é convergente. Assim,
+

1
é
n
n=1

César Silva (UBI)

convergente
divergente

Cálculo II

se > 1,
se 1.

2009/2010

88 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Critério do limite
Sejam
an e
cada n N.
an
a) Se lim
=
bn

bn séries de termos não negativos com bn = 0 para
com

=0e

an e
b) Se lim

= +, então as séries
bn são da mesma natureza.

an
= 0 e a série
bn

bn é convergente, então a série

an também é convergente.
c) Se lim

an
= + e a série
bn

bn é divergente, então a série

an também é divergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

89 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Exemplos de aplicação do critério do limite

a) A série



3n2 + 4
é convergente porque
2n4 + 3n + 1
n=1
3n2 + 4
0 e
2n4 + 3n + 1

e

César Silva (UBI)

1
0 para qualquer n N,
n2

3n2 + 4
4
3
3n4 + 4n2
=
lim 2n + 3n + 1 = lim 4
1
2n + 3n + 1
2
n2


1
é convergente.
2
n
n=1
Cálculo II

2009/2010

90 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Exemplos de aplicação do critério do limite (continuação)

b) Consideremos a série
sen



1
sen . É óbvio que
n
n=1

1
0 e
n

1
0 para cada n N.
n

Como
lim

e



1
é divergente,
n
n=1

César Silva (UBI)


n=1

sen

sen
1
n

1
n =1

1
também é divergente.
n

Cálculo II

2009/2010

91 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Critério de D'Alembert
Seja

an uma série de termos positivos tal que
lim

an+1
= .
an

a) Se < 1, então

an é convergente.

b) Se > 1, então

an é divergente.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

92 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Exemplos de aplicação do critério de D'Alembert
a) Provemos que a série

2n n!
é convergente. É óbvio que
nn

2n n!
> 0 qualquer que seja n N.
nn
Como
2n+1 (n + 1)!
2
2
2nn
(n + 1)n+1
= lim
< 1,
= lim
lim
n
n =
n
2 n!
(n + 1)
(1 + 1/n)
e
nn
pelo critério de D'Alembert, a série

César Silva (UBI)

Cálculo II

2n n!
é convergente.
nn
2009/2010

93 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Exemplos de aplicação do critério de D'Alembert (continuação)
b) A série
n3n
é divergente. Como
n3n > 0 para cada n N
e

(n + 1) 3n+1
n+1
= 3 > 1,
= lim 3
n 3n
n
pelo critério de D'Alembert a série
lim

n3n
é divergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

94 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Critério de Cauchy
Seja

an uma série de termos não negativos tal que
lim


n

an = .

a) Se < 1, então

an é convergente.

b) Se > 1, então

an é divergente.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

95 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Exemplos de aplicação do critério de Cauchy
a) Vejamos que a série
n+1
n

n2

é divergente. Como
n+1
n

n2

0 qualquer que seja n N

e
lim

n

n+1
n

n2

= lim

n+1
n

pelo critério de Cauchy, a série
César Silva (UBI)

Cálculo II

n

= lim 1 +
n+1
n

n2

1
n

n

= e > 1,

é divergente.
2009/2010

96 / 460

§1.2.2

Séries de termos não negativos

Exemplos de aplicação do critério de Cauchy (continuação)
b) À série
n 3n
também podemos aplicar o critério de Cauchy. Como
n 3n 0 para cada n N
e
lim



n
n 3n = lim 3 n n = 3,

o critério de Cauchy garante-nos que
n 3n
é divergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

97 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Séries de números reais
Definição e exemplos
Séries de termos não negativos
Critério de Leibniz; convergência absoluta
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

98 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Critério de Leibniz
Se (an ) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então a série
+

(-1)n an
n=1

é convergente.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

99 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Observações
a) Se (an ) é uma sucessão decrescente convergente para zero, então
an 0 para qualquer n N.
b) As séries da forma
+

(-1)n an
n=1

designam-se por séries alternadas.
c) O critério de Leibniz também é válido para séries da forma
+

+
n+1

(-1)

an

n=1

César Silva (UBI)

(-1)n an .

ou da forma
n=k

Cálculo II

2009/2010

100 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Exemplos
1
é decrescente pois
n
1
1
n - (n + 1)
-1
an+1 - an =
- =
=
0
n+1 n
n(n + 1)
n(n + 1)

a) A sucessão de termo geral an =

para qualquer n N. Além disso,
lim an = lim

n+

n+

1
1
=
= 0.
n
+

Pelo critério de Leibniz, a série
+

(-1)n
n
n=1
é convergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

101 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Exemplos (continuação)
+

b) Estudemos a natureza da série

(-1)n
. Como
n2
n=1

1
n2 - (n + 1)2
n2 - (n2 + 2n + 1)
-2n - 1
1
-
=
=
= 2
0
2
2
2
2
2
2
(n + 1)
n
n (n + 1)
n (n + 1)
n (n + 1)2
1
para qualquer n N, ou seja, a sucessão de termo geral an = 2 é
n
decrescente, e
1
1
1
=
=
= 0,
lim
n+ n2
(+)2
+
o critério de Leibniz garante-nos que a série
+

(-1)n
n2
n=1
é convergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

102 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Exemplos (continuação)
+

(-1)n an com an =

c) Estudemos a natureza da série

n=1

n+1
. A
n

sucessão (an ) é decrescente pois
an+1 - an =
=
=
=

para qualquer n N.
César Silva (UBI)



n+2 n+1
-
n+1
n
(n + 2)n - (n + 1)2
n(n + 1)
2
n + 2n - (n2 + 2n + 1)
n(n + 1)
-1
n(n + 1)
0

Cálculo II

2009/2010

103 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Exemplos (continuação)
c) (continuação) No entanto, como
n+1
1
n 1
= lim
+ = lim 1 + = 1,
n+
n+ n
n
n n+
n

lim an = lim

n+

não podemos aplicar o critério de Leibniz pois lim an = 0. Mas se
lim an = 1, a sucessão de termo geral (-1)n an é divergente pois a
subsucessão dos termos de ordem par converge para 1 e a
subsucessão dos termos de ordem ímpar converge para -1. Assim,
a série
+
+
n+1
é divergente.
(-1)n an =
(-1)n
n
n=1
n=1

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

104 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

+

Uma série

an diz-se absolutamente convergente se a série do

n=1
+

módulos
n=1

|an | é convergente.

As séries absolutamente convergentes são convergentes, ou seja, se
+
n=1

então

|an | é convergente,

+

an também é convergente.
n=1

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

105 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Observação
O recíproco do resultado anterior não se verifica. A série
+

(-1)n
n
n=1
é convergente, mas a sua série dos módulos
+
n=1

+
1
(-1)n
=
n
n
n=1

é a série harmónica que já vimos ser divergente.
As séries convergentes cuja série dos módulos é divergente dizem-se
simplesmente convergentes, semi-convergentes ou
condicionalmente convergentes.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

106 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Exemplos
+

(-1)n
é
n2
n=1
convergente. Uma outra forma de vermos que é convergente é através da
série do módulos:

a) Através do critério de Leibniz concluímos que a série

+
n=1

+

1
(-1)n
=
.
2
n
n2
n=1

+

1
é uma série de Dirichlet com = 2 e, portanto, é
2
n
n=1
convergente. Logo
Ora a série

+

(-1)n
n2
n=1
é absolutamente convergente e, portanto, é convergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

107 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Exemplos (continuação)
+

b) Estudemos a natureza da série
n=1

n N, se tem
0

n2

n2

cos n
. Como, para qualquer
+ 2n + 3

1
1
|cos n|
cos n
= 2
2
= 2
+ 2n + 3
n + 2n + 3
n + 2n + 3
n

+

e a série
+
n=1

1
é convergente, pelo critério geral de comparação, a série
2
n
n=1

cos n
é convergente. Logo
n2 + 2n + 3
+

cos n
2 + 2n + 3
n
n=1
é absolutamente convergente e, por conseguinte, é convergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

108 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Exemplos (continuação)
+

(-1)n

c) Consideremos a série
n=1

n+1
. A sua série dos módulos é
n2 + 2

+

(-1)n
n=1

n+1
=
n2 + 2

+

n=1

n+1
n2 + 2

e, como
n+1
2 +2
n2 (1 + 1/n)
1 + 1/n
n2 + n
n
= lim
= lim
= 1,
lim
= lim
2
1
n+ n2 (1 + 2/n)
n+ 1 + 2/n
n+
n+ n + 2
n
+
+
n+1
1
pelo critério do limite, as série
e
, por serem séries de termos
n2 + 2
n
n=1

n=1

positivos, são da mesma natureza. Como a série harmónica é divergente, a série
+

n=1

n+1
também é divergente.
n2 + 2

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

109 / 460

§1.2.3

Critério de Leibniz; convergência absoluta

Exemplos (continuação)
+

(-1)n

c) (continuação) Acabámos de ver que a série dos módulos de

n=1
+

n+1
é
n2 + 2

(-1)n

divergente. Vejamos, usando o critério de Leibniz, que a série
n=1

n+1
é
n2 + 2

convergente. Como
lim

n+

n(1 + 1/n)
1 + 1/n
n+1
1+0
= lim
= lim
=
=0
n+ n2 (1 + 2/n2 )
n+ n(1 + 2/n2 )
n2 + 2
+(1 + 0)

e

n+2
n+1
n2 + 3n - 1
- 2
= ··· = -
0
2
(n + 1) + 2
n +2
((n + 1)2 + 2)(n2 + 1)
para qualquer n N, pelo critério de Leibniz a série
+

(-1)n
n=1

n+1
n2 + 2

é convergente. Assim, esta série é simplesmente convergente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

110 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais
Sucessões de números reais
Séries de números reais
Série de potências e série de Taylor

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

111 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Sejam a0 , a1 , . . . , an , . . . os termos de uma sucessão e a um número real.
A série
+
n=0

an (x - a)n

= a0 + a1 (x - a) + a2 (x - a)2 + · · · + an (x - a)n + · · ·
designa-se por série de potências de x - a. Dizemos que a série está
centrada em a e que os números an são os coeficientes da série.
As séries
+

xn
,
n!
n=0

+

n
(x - 2)n
2
n
+
1
n=0

+

e
n=0

n(x - )n

são séries de potências centradas, respectivamente, em 0, 2 e .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

112 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor
Observações
a) Há séries de potências que não começam em zero. Por exemplo, a série
+

+

xn
1 n
x =
n
n
n=1
n=1
tem de começar em um. Obviamente, tudo o que vamos estudar nesta
secção contínua válido para estas séries.
b) Quando x = a e n = 0 obtemos (x - a)n = 00 que, apesar de não estar
definido, no contexto das séries convencionamos ser igual a 1.
c) Uma série de potências pode convergir para determinados valores de x e
divergir para outros.
d) Para x = a, tendo em conta a observação b), a série é sempre convergente.
Aliás, se x = a temos
+
n=0
César Silva (UBI)

an (x - a)n = a0 .
Cálculo II

2009/2010

113 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor
Exemplos de séries de potências
+

xn
. Aplicando o critério de
n+1
n=0
D'Alembert à série dos módulos

a) Estudemos a série de potências

+
n=0

+

|x|n
xn
=
n+1
n+1
n=0

(que é obviamente uma série de termos positivos) temos
n+1

lim

n+

|x|
1+
n + 2 = lim n + 1 |x| = lim
n
n+
n+ n + 2
|x|
1+
n+1

1
n |x| = 1 . |x| = |x|
2
n

+

e, portanto, a série
César Silva (UBI)

xn
é absolutamente convergente para |x| < 1.
n+1
n=0
Cálculo II

2009/2010

114 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor
Exemplos de séries de potências (continuação)
a) (continuação) Se |x| > 1, temos
lim

n+

e, portanto,

|x|n+1
n + 2 = |x| > 1
|x|n
n+1
n+1

n

|x|
|x|

n+2
n+1
a partir de certa ordem. Daqui concluímos que para |x| > 1 a sucessão de
xn
termo geral
não converge para zero e, consequentemente, a série
n+1
+

xn
é divergente quando |x| > 1.
n+1
n=0
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

115 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos de séries de potências (continuação)
a) (continuação) Falta ver o que acontece quando |x| = 1. Se x = 1, então
obtemos a série
+
+
1
1
=
,
n + 1 n=1 n
n=0
isto é, obtemos a série harmónica que já vimos ser divergente. Para
x = -1, temos a série alternada


n



n+1

(-1)
(-1)
=
n+1
n
n=1
n=0

que é convergente (ver os exemplos do critério de Leibniz). Assim, esta
série é convergente para x [-1, 1[ e é divergente para
x ] - , -1[ [1, +[.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

116 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor
Exemplos de séries de potências (continuação)
+

b) Consideremos a série de potências
D'Alembert à série dos módulos
+
n=0

xn
. Aplicando o critério de
n!
n=0
+

n

xn
|x|
=
n!
n!
n=0

(que é obviamente uma série de termos positivos) tem-se
n+1

|x|
1
n!
(n + 1)!
|x| = lim
|x| = 0 . |x| = 0,
= lim
lim
n
n+ n + 1
n+ (n + 1)!
n+
|x|
n!
+ n
x
o que permite concluir que a série
é absolutamente convergente
n!
n=0
para todo o x R.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

117 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor
Exemplos de séries de potências (continuação)
+

nxn . Aplicando o critério de Cauchy à

c) Estudemos a natureza da série
n=0

série dos módulos

+
n=0

+

|nxn | =

temos
lim

n+

n

n |x|n = lim

n+

n

n=0

n |x|


n
n |x| = 1 . |x| = |x| .

Assim, a série é absolutamente convergente para |x| < 1. Para |x| > 1 a
série é divergente. Para |x| = 1 a série também é divergente. Portanto, a
série
+

nn xn
n=0

converge se x ] - 1, 1[ e diverge se x ] - , -1] [1, +[.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

118 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Sejam a0 , a1 , . . . , an , . . . os termos de uma sucessão e a um número
real. Então
a) existe um número real r 0 tal que a série de potências
+
n=0

an (x - a)n

converge absolutamente quando |x - a| < r e diverge quando
|x - a| > r; ou

b) a série de potências

+
n=0

an (x - a)n

converge absolutamente para qualquer x R.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

119 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

O número r do resultado anterior designa-se por raio de
+

convergência da série de potências
n=0

an (x - a)n .

Se estivermos no caso da alínea b) costuma-se fazer r = +.
O conjunto dos x para os quais a série é convergente designa-se por
+

intervalo de convergência da série de potências
n=0

an (x - a)n .

Note-se que o intervalo de convergência de uma série de potências é um
dos quatro intervalos seguintes:
]a - r, a + r[ ,

César Silva (UBI)

[a - r, a + r[ ,

]a - r, a + r]

Cálculo II

ou

[a - r, a + r] .

2009/2010

120 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Observações
a) Do critério de D'Alembert resulta que,
se o limite existe, então r = lim

n+

an
.
an+1

De facto, supondo x = a e an = 0 para qualquer n N, como
lim

n+

an+1 (x - a)n+1
|an+1 |
= lim
|x - a| = |x - a| ,
n+ |an |
an (x - a)n

pelo critério de D'Alembert, a série é absolutamente convergente se
|x - a| < 1 |x - a| < 1/.Além disso, se |x - a| > 1 |x - a| 1/,a
série é divergente porque (an (x - a)n )nN não converge para zero.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

121 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Observações (continuação)
b) De forma análoga prova-se, usando o critério de Cauchy, que,
se o limite existe, então

r=

1
lim

n+

César Silva (UBI)

Cálculo II

.
n

|an |

2009/2010

122 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos
+

xn
e
n+1
n=0
provámos que o raio de convergência desta série é r = 1 e que o seu
intervalo de convergência é [-1, 1[.

a) Já estudamos a natureza da série de potências

b) Num exemplo anterior vimos o raio de convergência da série de
+ n
x
é r = + e, consequentemente, o seu intervalo de
potências
n!
n=0
convergência é ] - , +[= R.
+

nxn tem como raio de

c) Também já vimos que a série
n=0

convergência r = 1 e o seu intervalo de convergência é ] - 1, 1[.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

123 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos (continuação)
+

d) Estudemos a série de potências

lim

n+

(x - 1)n
. Como
n2 2n
n=1

1
(n + 1)2 2n+1
n2 2n
= lim
= lim 2(1+1/n)2 = 2,
1
n+
n+
n2
2n
(n + 1)2 2n+1

concluimos que a série é absolutamente convergente quando
|x - 1| < 2 x - 1 < 2 x - 1 > -2 x ] - 1, 3[
e é divergente quando x ] - , -1[ ]3, +[. Falta ver o que
acontece quando x = -1 e x = 3.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

124 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor
Exemplos (continuação)
d) (continuação) Quando x = 3 temos
+

+

+

2n
1
(3 - 1)n
=
=
2 2n
2 2n
2
n
n
n
n=0
n=0
n=0
que é uma série de Dirichlet convergente. Quando x = -1 vem
+

+

+

+

(-1 - 1)n
(-2)n
(-1)n 2n
(-1)n
=
=
=
,
n2 2 n
n2 2 n
n2 2 n
n2
n=0
n=0
n=0
n=0

e esta série é convergente. Para vermos isso podemos usar o critério de
Leibniz ou então ver que a sua série dos módulos
+
n=0

+

+

|(-1)n |
(-1)n
1
=
=
2
2
2
n
n
n
n=0
n=0
+

é convergente. Assim, o raio de convergência da série
e o seu intervalo de convergência é [-1, 3].
César Silva (UBI)

Cálculo II

(x - 1)n
ér=2
n2 2 n
n=1
2009/2010

125 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos (continuação)
e) Consideremos a série de potências
+

n
(x - 2)n .
2+1
n
n=1
Como

n
n3 + 2n2 + 2n
+1
lim
=1
= lim 3
n+1
n + n2 + n + 1
(n + 1)2 + 1
n2

concluímos que, se |x - 2| < 1, isto é, se x ]1, 3[, a série é absolutamente
converge. Se |x - 2| > 1 a série diverge.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

126 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos (continuação)
e) (continuação) Se x = 3, obtemos a série
+

+

n
n
(3 - 2)n =
,
2+1
2+1
n
n
n=1
n=1
que é uma série de termos positivos, pelo que estudaremos a sua natureza
recorrendo ao critério do limite, fazendo a comparação com a série
harmónica. Como
lim

n2
n/(n2 + 1)
= lim 2
=1
1/n
n +1

concluímos que para x = 3 a série tem a mesma natureza da série
harmónica e, portanto, diverge.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

127 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos (continuação)
+

(-1)n

e) (continuação) Além disso, se x = 1 obtemos a série
n=1

n
. A
n2 + 1

n
é decrescente visto que
2
n +1
n
-n2 - n + 1
n+1
- 2
= 2
< 0 para todo o n N.
2
(n + 1) + 1 n + 1
(n + 2n + 2)(n2 + 1)

sucessão de termo geral an =

Por outro lado, uma vez que temos
lim

n+

1
n
1
n
= lim
= lim
=
=0
n2 + 1 n+ n2 (1 + 1/n2 ) n+ n(1 + 1/n2 )
+

podemos concluir pelo critério de Leibniz que, para x = 1, a série
converge. Assim, a série converge para x [1, 3[ e diverge para
x ] - , 1[ [3 + [.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

128 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

No intervalo de convergência I de uma série de potências
+
n=0

an (x - a)n

fica bem definida a função f : I R dada por
+

f (x) =
n=0

an (x - a)n

= a0 + a1 (x - a) + a2 (x - a)2 + · · · + an (x - a)n + · · · .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

129 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Propriedades da função f (x) =

+
n=0

Seja

an (x - a)n

+
n=0

an (x - a)n

uma série de potências com raio de convergência r e com intervalo de
convergência I. Consideremos a função f : I R definida por
+

f (x) =
n=0

an (x - a)n .

Então
a) a função f é contínua em I;
b) a função f é de classe C em ]a - r, a + r[;
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

130 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Propriedades da função f (x) =

+
n=0

c) para cada x ]a - r, a + r[ tem-se

an (x - a)n (continuação)

+

f (x) =
n=0

[an (x - a)n ] ,

ou seja,
+

f (x) =
n=1

nan (x - a)n-1

+

=

(n + 1)an+1 (x - a)n

n=0

= a1 + 2a2 (x - a) + 3a3 (x - a)2 + · · · + nan (x - a)n-1 + · · ·
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

131 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Propriedades da função f (x) =

+
n=0

d) para cada x ]a - r, a + r[ tem-se

an (x - a)n (continuação)

+

(x - a)n+1
+C
n+1
n=0
a2
a1
= C + a0 (x - a) + (x - a)2 + (x - a)3 + · · · +
2
3
an
n+1
+
(x - a)
+ ···
n+1

f (x) dx =

an

ou seja, a função g dada por
+

g(x) =

an
n=0

(x - a)n+1
n+1

é uma primitiva de f .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

132 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos
a) Seja f : R \ {1} R a função dada por
f (x) =

1
.
1-x

Quando estudámos a série geométrica vimos que para cada
x ] - 1, 1[ temos
+

xn =
n=0

1
= f (x).
1-x

Verificamos então que f admite um desenvolvimento em série de
potências de x no intervalo ] - 1, 1[.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

133 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos (continuação)
b) Como
1
1-x

=

1 (1 - x) - 1(1 - x)
0(1 - x) - 1(-1)
1
=
=
,
2
2
(1 - x)
(1 - x)
(1 - x)2

usando o exemplo anterior e uma das propriedades anteriores,
temos, para x ] - 1, 1[,
1
=
(1 - x)2

1
1-x

+

nxn-1 =

=
n=1

César Silva (UBI)

+

=

Cálculo II

(xn )
n=0
+

(n + 1)xn
n=0

2009/2010

134 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos (continuação)
c) O estudo que fizemos da série geométrica permite-nos concluir,
para cada x ] - 1, 1[, que
+
+
1
1
=
=
(-x)n =
(-1)n xn .
1+x
1 - (-x) n=0
n=0

1
tem-se
1+x
+
xn+1
ln(1 + x) = C +
(-1)n
n+1
n=0

Como ln(1 + x) é uma primitiva de

para algum C R. Como ln(1 + 0) = 0, tem-se C = 0 e, por
conseguinte,
+

ln(1 + x) =

(-1)n
n=0

César Silva (UBI)

xn+1
para qualquer x ] - 1, 1[.
n+1
Cálculo II

2009/2010

135 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos (continuação)
d) Usando novamente a série geométrica, para x ] - 1, 1[, temos
+
+
1
1
2 n
=
=
(-x
)
=
(-1)n x2n
1 + x2
1 - (-x2 ) n=0
n=0

e, pelas propriedades estudadas, tem-se para x ] - 1, 1[
+

(-1)n

arc tg x = C +

n=0

x2n+1
2n + 1

para algum C R. Como arc tg 0 = 0, concluímos que C = 0 e,
portanto,
+

arc tg x =

(-1)n
n=0

César Silva (UBI)

x2n+1
para x ] - 1, 1[.
2n + 1

Cálculo II

2009/2010

136 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Seja f : D R uma função de classe C . Se f puder ser escrita na
forma
+

f (x) =
n=0

an (x - a)n

= a0 + a1 (x - a) + a2 (x - a)2 + · · · + an (x - a)n + · · ·
para x ]a - r, a + r[ D, com r > 0, dizemos que f admite uma
representação em série de potências de x - a no intervalo
]a - r, a + r[. As funções que admitem uma representação em série de
potências num intervalo não degenerado da forma ]a - r, a + r[
dizem-se funções analíticas no ponto a.
Dada uma função analítica num ponto a, como calcular os coeficientes
an ?
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

137 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Se para cada x ]a - r, a + r[ se tem

f (x) = a0 + a1 (x - a) + a2 (x - a)2 + · · · + an (x - a)n + · · ·

então f (a) = a0 . Derivando obtemos

f (x) = a1 + 2a2 (x - a) + 3a3 (x - a)2 + · · · + nan (x - a)n-1 + · · ·
e, portanto, f (a) = a1 . Derivando novamente obtemos
f (x) = 2 a2 + 3 × 2 a3 (x - a) + · · · + n × (n - 1) an (x - a)n-2 + · · ·
o que implica f (a) = 2 a2 . Iterando o processo obtemos
f (n) (a) = n! an an =

f (n) (a)
n!

para cada n N0 (com f (0) = f ). Assim,
f (x) = f (a) +

f (a)
f (a)
f (n) (a)
(x - a) +
(x - a)2 + · · · +
(x - a)n + · · ·
1!
2!
n!

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

138 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Fórmula de Taylor (com resto de Lagrange)
Sejam I um intervalo,
f: I R

uma função de classe C n , n + 1 vezes diferenciável em int I e a um
ponto de I. Para cada x I \ {a}, existe c estritamente entre a e x tal
que
f (x) = f (a) + f (a) (x - a) +

f (n) (a)
f (a)
(x - a)2 + · · · +
(x - a)n + Rn (x)
2!
n!

onde
Rn (x) =

César Silva (UBI)

f (n+1) (c)
(x - a)n+1 .
(n + 1)!

Cálculo II

2009/2010

139 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Ao polinómio
pn (x) = f (a) + f (a) (x - a) +

f (n) (a)
f (a)
(x - a)2 + · · · +
(x - a)n
2!
n!

chamamos polinómio de Taylor de grau n da função f em torno de
x=aea
f (n+1) (c)
Rn (x) =
(x - a)n+1
(n + 1)!
resto Lagrange de ordem n da função f em torno de x = a.
Se a = 0 a fórmula de Taylor designa-se por fórmula de MacLaurin
e o polinómio de Taylor designa-se por polinómio de MacLaurin.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

140 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Dada uma função f : D R de classe C , designa-se por série de
Taylor de f em a a série
+

f (n) (a)
(x - a)n
n!
n=0
= f (a) +

f (a)
f (n) (a)
f (a)
(x - a) +
(x - a)2 + · · · +
(x - a)n + · · ·
1!
2!
n!

No caso particular em que a = 0 obtemos a série
+

f (n) (0) n
f (0)
f (0) 2
f (n) (0) n
x = f (0) +
x+
x + ··· +
x + ···
n!
1!
2!
n!
n=0
que se designa por série de MacLaurin de f .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

141 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Pelo que foi visto anteriormente, uma função f de classe C é
analítica num ponto a interior ao domínio se existe r > 0 tal que
+

f (x) =

f (n) (a)
(x - a)n
n!
n=0

para cada x ]a - r, a + r[. Assim, da fórmula de Taylor resulta
imediatamente o seguinte resultado.

Seja f : D R uma função de classe C e seja Rn (x) o resto de
Lagrange de ordem n da função f em torno de x = a D. Se existir
r > 0 tal que para cada x ]a - r, a + r[ D se tem
lim Rn (x) = 0,

n+

então a função f é analítica em x = a.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

142 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor
Exemplos
a) A função exponencial, f (x) = ex , é de classe C e
f (n) (x) = ex o que implica f (n) (0) = 1
para qualquer n N. A fórmula de Maclaurin com resto de Lagrange será

xn
x2
+ ··· +
+ Rn (x),
2!
n!
e onde c é um número entre 0 e x. Como
ex = 1 + x +

com

emax{0,x} |x|
ec xn+1

(n + 1)!
(n + 1)!

Rn (x) =

ec xn+1
(n + 1)!

n+1

,

temos

ec xn+1
=0
n+
n+ (n + 1)!
e, por conseguinte, a função exponencial é analítica em torno da origem e
lim Rn (x) = lim

+

ex = 1 + x +
César Silva (UBI)

xn
x2
xn
+ ···+
+ ··· =
.
2!
n!
n!
n=0
Cálculo II

2009/2010

143 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos (continuação)
b) A função seno, f (x) = sen x, é de classe C e

f (n) (x) =



cos x




- sen x

- cos x






sen x

pelo que
f (n) (0) =

César Silva (UBI)

0
(-1)k+1

se
se
se
se

n = 4k - 3, k N;
n = 4k - 2, k N;
n = 4k - 1, k N;
n = 4k, k N;

se n = 2k, n N;
se n = 2k - 1, n N.

Cálculo II

2009/2010

144 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Assim, a fórmula de Maclaurin, com resto de
Lagrange, da função seno é
sen x = x -

x3 x5
x2n+1
+
+ · · · + (-1)n
+ R2n+1 (x),
3!
5!
(2n + 1)!

com
R2n+1 (x) =

(-1)n sen c x2n+2
(2n + 2)!

e c um número entre 0 e x. Como lim R2n+1 (x) = 0, a função
n+

seno é analítica em torno da origem e

+

sen x = x -

x3
x2n+1
x5
x2n+1
(-1)n
+
+ · · · + (-1)n
+ ··· =
.
3!
5!
(2n + 1)!
(2n + 1)!
n=0

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

145 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Exemplos (continuação)
c) De modo semelhante prova-se que a função coseno é analítica na
origem e que
cos x = 1 -
+

=
n=0

César Silva (UBI)

x2n
x2 x4
+
+ · · · + (-1)n
+ ···
2!
4!
(2n)!
(-1)n

x2n
.
(2n)!

Cálculo II

2009/2010

146 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor
Façamos uma lista das principais séries de Taylor deduzidas nestes capítulo.
+

ex =

xn
,
n!
n=0

xR

+

(-1)n

sen x =

n=0
+

(-1)n

cos x =

n=0
+

1
=
xn ,
1 - x n=0

x2n+1
,
(2n + 1)!
x2n
,
(2n)!

(-1)n

n=0
+

arc tg x =

(-1)n
n=0

César Silva (UBI)

xR

x ] - 1, 1[

+

ln(1 + x) =

xR

xn+1
,
n+1

x2n+1
,
2n + 1

Cálculo II

x ] - 1, 1[
x ] - 1, 1[
2009/2010

147 / 460

§1.3 Série de potências e série de Taylor

Observação
Nem todas as funções de classe C num dado intervalo aberto são
analíticas nesse intervalo. Por exemplo, se f : R R é a função
definida por
2
se x = 0
e-1/x
f (x) =
0
se x = 0
pode-se provar que f é de classe C e f (n) (0) = 0. Obviamente, a sua
série de MacLaurin
+

f (0)
f (0) 2
f (n) (0) n
f (n) (0) n
x = f (0) +
x+
x + ··· +
x + ···
n!
1!
2!
n!
n=0
é identicamente nula e, portanto, é diferente de f em qualquer
intervalo da forma ] - r, r[, r > 0. Logo f não é analítica em x = 0.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

148 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Limites
Continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

149 / 460

Índice
1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn

Os espaços Rn
Distâncias e normas
Bolas e conjuntos limitados
Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Conjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
Limites
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

150 / 460

Índice
1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn

Os espaços Rn
Distâncias e normas
Bolas e conjuntos limitados
Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Conjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
Limites
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

151 / 460

§2.1.1 Os espaços Rn

Recordemos que se identifica o conjunto R dos números reais com a
recta
0

César Silva (UBI)

a

Cálculo II

2009/2010

152 / 460

§2.1.1 Os espaços Rn

Os elementos do conjunto
R2 = {(x1 , x2 ) : x1 , x2 R}
podem ser representados no plano da seguinte forma
x2
P (a, b)

b

a

x1

Representação geométrica de um ponto de R2

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

153 / 460

§2.1.1 Os espaços Rn

Os elementos do conjunto
R3 = {(x1 , x2 , x3 ) : x1 , x2 , x3 R}
podem ser representados no espaço da seguinte forma
x3
c

P (a, b, c)
b

x2

a
x1
Representação geométrica de um ponto de R3

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

154 / 460

§2.1.1 Os espaços Rn

Podemos generalizar este género de conjuntos para qualquer número
natural n. Assim, definimos o conjunto Rn utilizando o produto
cartesiano, ou seja,
Rn = R × R × · · · × R
n vezes

é o conjunto formado por todos os elementos da forma
x = (x1 , . . . , xn )
onde xi é um número real para i = 1, . . . , n. A cada elemento xi
chamamos i-ésima coordenada de x.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

155 / 460

§2.1.1 Os espaços Rn

Em Rn vamos considerar duas operações, a adição (entre elementos de
Rn ) e a multiplicação de um número real por um elemento de Rn ,
definidas, para cada
x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn )
em Rn e para cada R, da seguinte forma:
x + y = (x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
e
x = (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn ) .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

156 / 460

§2.1.1 Os espaços Rn

A adição e a multiplicação verificam, para cada
x = (x1 , . . . , xn ) ,

y = (y1 , . . . , yn )

e

z = (z1 , . . . , zn )

em Rn e para cada , µ em R, as seguintes propriedades:
a) x + y = y + x;
b) x + (y + z) = (x + y) + z;
c) (0, . . . , 0) Rn é o elemento neutro da adição;
d) -x = (-x1 , . . . , -xn ) é o simétrico de x = (x1 , . . . , xn ), já que
x + (-x) = (0, . . . , 0);
e) (µx) = (µ) x;
f ) (x + y) = x + y;
g) ( + µ) x = x + µx;
h) 1 x = x.
Por se verificarem estas propriedades, é costume dizer que Rn é um
espaço vectorial.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

157 / 460

§2.1.1 Os espaços Rn

Associada a estas operações está uma outra operação, a subtracção,
que é definida, para cada
x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn )
em Rn , por
x - y = (x1 , . . . , xn ) - (y1 , . . . , yn ) = (x1 - y1 , . . . , xn - yn ).
Sempre que não haja perigo de confusão, representaremos um elemento
genérico de R2 por (x, y) em vez de (x1 , x2 ). Da mesma forma, um
elemento genérico de R3 será por vezes representado por (x, y, z) em
vez de (x1 , x2 , x3 ).

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

158 / 460

Índice
1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn

Os espaços Rn
Distâncias e normas
Bolas e conjuntos limitados
Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Conjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
Limites
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

159 / 460

§2.1.2 Distâncias e normas

Em R, observando a figura que se segue
|x - y|
x

y

Distância entre dois números reais x e y

verificamos que a distância entre dois números reais x e y é dada por
d(x, y) = |x - y| .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

160 / 460

§2.1.2 Distâncias e normas

Vejamos como calcular a distância entre dois elementos de R2 . Para
isso consideremos dois pontos x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) e façamos a
sua representação geométrica.
x2
d(

y2

x,

y)

x 2 - y2

x 1 - y1
x1

y1

Distância entre dois pontos de R2

Pelo teorema de Pitágoras concluímos que a distância entre x e y é
dada por
d(x, y) = (x1 - y1 )2 + (x2 - y2 )2 .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

161 / 460

§2.1.2 Distâncias e normas

Do mesmo modo, a distância entre dois pontos x = (x1 , x2 , x3 ) e
y = (y1 , y2 , y3 ) é dada por
d(x, y) =

(x1 - y1 )2 + (x2 - y2 )2 + (x3 - y3 )2 .
x = (x1 , x2 , x3 )

y = (y1 , y2 , y3 )
Distância entre dois pontos de R3

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

162 / 460

§2.1.2 Distâncias e normas

De um modo geral, dados x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) em Rn , a
distância entre x e y calcula-se usando a seguinte fórmula:
d(x, y) =

César Silva (UBI)

(x1 - y1 )2 + (x2 - y2 )2 + · · · + (xn - yn )2 .

Cálculo II

2009/2010

163 / 460

§2.1.2 Distâncias e normas
Associado à definição de distância temos o conceito de norma. Dado
x = (x1 , . . . , xn ) Rn , a norma de x é dada por
x =

x21 + x22 + · · · + x2n .

Repare-se que se representarmos por 0 o vector nulo (0, . . . , 0) temos
x = x - 0 = d(x, 0)

pelo que a norma de x = (x1 , . . . , xn ) é apenas o comprimento do vector x, tal
como ilustra a figura seguinte no caso particular de R2 :
x = (x1 , x2 )

x2

x1

Além disso, dados x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) em Rn , temos
d(x, y) = x - y .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

164 / 460

§2.1.2 Distâncias e normas

Para quaisquer x, y Rn e para qualquer R, as seguintes
propriedades são verdadeiras:
a) x 0

b) x = 0 se e só se x = 0;
c) x = || x ;

d) x + y x + y .

(desigualdade triangular)

As três primeiras propriedades apresentadas anteriormente são fáceis
de verificar. Já a última propriedade é mais difícil de provar.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

165 / 460

Índice
1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn

Os espaços Rn
Distâncias e normas
Bolas e conjuntos limitados
Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Conjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
Limites
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

166 / 460

§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados

Seja a = (a1 , . . . , an ) um ponto de Rn . Chama-se bola aberta de
centro a e raio r > 0 ao conjunto
Br (a) = {x Rn : d(x, a) < r}

= {x Rn : x - a < r}

=

x Rn :

(x1 - a1 )2 + (x2 - a2 )2 + · · · + (xn - an )2 < r

= x Rn : (x1 - a1 )2 + (x2 - a2 )2 + · · · + (xn - an )2 < r 2
e bola fechada de centro a e raio r 0 ao conjunto
Br [a] = {x Rn : d(x, a) r}

= {x Rn : x - a r}

=

x Rn :

(x1 - a1 )2 + (x2 - a2 )2 + · · · + (xn - an )2 r

= x Rn : (x1 - a1 )2 + (x2 - a2 )2 + · · · + (xn - an )2 r 2 .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

167 / 460

§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados

O conjunto
Sr (a) = {x Rn : d(x, a) = r}

= {x Rn : x - a = r}

=

x Rn :

(x1 - a1 )2 + (x2 - a2 )2 + · · · + (xn - an )2 = r

= x Rn : (x1 - a1 )2 + (x2 - a2 )2 + · · · + (xn - an )2 = r 2
designa-se por esfera de centro a e raio r 0.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

168 / 460

§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados

Em R a distância entre dois elementos é dada pelo módulo da diferença
e, por conseguinte, as bolas são intervalos e as esferas conjuntos com
dois pontos:

a-r

a

a+r

a-r

a

a+r

a-r

a

a+r

Bola aberta, bola fechada e esfera de centro a R e raio r

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

169 / 460

§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados

A figura seguinte ilustra, em R2 , os três conjuntos definidos
anteriormente:

r
a2

r
a2

a1

r
a2

a1

a1

Bola aberta, bola fechada e esfera de centro (a1 , a2 ) e raio r

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

170 / 460

§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados

Em R3 a bola de centro a = (a1 , a2 , a3 ) e raio r pode ser representada
por

a

r

Representação geométrica em R3 da bola de centro a = (a1 , a2 , a3 ) e raio r

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

171 / 460

§2.1.3 Bolas e conjuntos limitados

Um subconjunto A de Rn diz-se limitado se estiver contido em
alguma bola centrada na origem, isto é,
A Br [0] para algum r > 0,
ou seja, se existir r > 0 tal que
x r para cada x A.
Os subconjuntos de Rn que não são limitados dizem-se ilimitados

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

172 / 460

Índice
1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn

Os espaços Rn
Distâncias e normas
Bolas e conjuntos limitados
Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Conjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
Limites
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

173 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

Seja A um subconjunto não vazio de Rn . Um ponto a Rn diz-se
interior a A
se existir > 0 tal que B (a) A.

O ponto a diz-se exterior a A
se existir > 0 tal que B (a) Rn \ A.

Um ponto a Rn diz-se fronteiro a A
se para cada > 0, B (a) A = e B (a) (Rn \ A) = .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

174 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

A figura que se segue ilustra estes três conceitos.

a

c
b

Pontos interiores, pontos exteriores e pontos fronteiros

O ponto a é um ponto interior ao conjunto, o ponto b é um ponto
exterior ao conjunto e o ponto c é um ponto fronteiro ao conjunto.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

175 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

O conjunto dos pontos interiores a A designa-se por interior de A e
representa-se por int A ou A .
O conjunto dos pontos exteriores a A chama-se exterior de A e
representa-se por ext A.
O conjunto dos pontos fronteiros de A diz-se a fronteira de A e
representa-se por fr A.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

176 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

Observações
a) Da definição resulta imediatamente que int A, ext A e fr A são
conjuntos disjuntos dois a dois e que
Rn = int A ext A fr A.
b) Outra consequência imediata da definição é a seguinte
int A = ext (Rn \ A)

César Silva (UBI)

e

Cálculo II

fr A = fr (Rn \ A) .

2009/2010

177 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
a) Consideremos os conjuntos
A = (x, y) R2 : 1 < x < 2 1 < y < 2

B = (x, y) R2 : 3 x 4 1 y 2

C = (x, y) R2 : 5 x 6 1 < y < 2

Estes conjuntos estão representados na figura seguinte
y
2
A

B

C

1

1
César Silva (UBI)

2

3
Cálculo II

4

5

6

x
2009/2010

178 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos
a) (continuação) Então o interior destes três conjuntos é dado por
int A =

(x, y) R2 : 1 < x < 2 1 < y < 2

int B =

(x, y) R2 : 3 < x < 4 1 < y < 2

int C =

(x, y) R2 : 5 < x < 6 1 < y < 2 ,

o exterior é dado por
ext A =

(x, y) R2 : x < 1 x > 2 y < 1 y > 2

ext B =

(x, y) R2 : x < 3 x > 4 y < 1 y > 2

ext C =

(x, y) R2 : x < 5 x > 6 y < 1 y > 2 ,

e a fronteira é dada por
fr A =

(x, y) R2 : ((y = 1 y = 2) 1 x 2) ((x = 1 x = 2) 1 y 2)

fr B =

(x, y) R2 : ((y = 1 y = 2) 3 x 4) ((x = 3 x = 4) 1 y 2)

fr C =

(x, y) R2 : ((y = 1 y = 2) 5 x 6) ((x = 5 x = 6) 1 y 2) .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

179 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

Exemplos
b) Dada a bola aberta Br (a) de centro a e raio r > 0 tem-se
int (Br (a)) = Br (a)
ext (Br (a)) = Rn \ Br [a]
fr (Br (a)) = Sr (a).

O interior, o exterior e a fronteira da bola fechada Br [a] de centro a
e raio r > 0 coincidem, respectivamente, com o interior, o exterior e
a fronteira de Br (a).
c) É óbvio que int Rn = Rn , ext Rn = e fr Rn = .
d) Também temos int = , ext = Rn e fr = .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

180 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

Um ponto a Rn diz-se aderente a um subconjunto A Rn
se para cada > 0, B (a) A = .
O conjunto dos pontos aderentes de um conjunto A designa-se por
aderência ou fecho de A e representa-se por A.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

181 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

Exemplos
a) Considerando novamente os conjuntos
A = (x, y) R2 : 1 < x < 2 1 < y < 2
B = (x, y) R2 : 3 x 4 1 y 2
C = (x, y) R2 : 5 x 6 1 < y < 2
temos
A=

(x, y) R2 : 1 x 2 1 y 2

B =

(x, y) R2 : 3 x 4 1 y 2

C =

(x, y) R2 : 5 x 6 1 y 2

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

182 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

Exemplos (continuação)
b) Seja Br (a) a bola aberta de centro a e raio r > 0. Então
Br (a) = Br [a].
c) Também se tem Rn = Rn e = .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

183 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

É evidente que para qualquer subconjunto A de Rn se tem
A = int A fr A
e
int A A A.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

184 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

Sejam A um subconjunto de Rn e a Rn . Diz-se que a é um ponto
de acumulação de A
se para cada > 0, B (a) (A \ {a}) = .
O conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto A representa-se
por A e designa-se por derivado.
Os pontos de A que não são pontos de acumulação de A designam-se
por pontos isolados.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

185 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto

Exemplos
a) Seja
A = (x, y) R2 : x2 + y 2 < 1 {(2, 2) , (-2, 2)} .
O conjunto A tem a seguinte representação geométrica
y
2

1

-2

César Silva (UBI)

Cálculo II

2

x

2009/2010

186 / 460

§2.1.4 Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Então se
tem-se

A = (x, y) R2 : x2 + y 2 < 1 {(2, 2) , (-2, 2)}
int A =
ext A =
fr A =
A=
A =

(x, y) R2 : x2 + y 2 < 1 ,

(x, y) R2 : x2 + y 2 > 1 \ {(2, 2) , (-2, 2)} ,

(x, y) R2 : x2 + y 2 = 1 {(2, 2) , (-2, 2)} ,

(x, y) R2 : x2 + y 2 1 {(2, 2) , (-2, 2)} ,
(x, y) R2 : x2 + y 2 1 .

Os pontos (2, 2) e (-2, 2) são pontos isolados de A. Além disso o conjunto
A é limitado porque
A B3 [0].
b) É óbvio que (Rn ) = Rn e que () = .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

187 / 460

Índice
1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn

Os espaços Rn
Distâncias e normas
Bolas e conjuntos limitados
Interior, exterior, fronteira, aderência e derivado de um conjunto
Conjuntos abertos e conjuntos fechados
Funções de Rn em Rm
Limites
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

188 / 460

§2.1.5 Conjuntos abertos e conjuntos fechados

Um subconjunto A de Rn diz-se aberto se A = int A e diz-se fechado
se A = A.
b
a

conjunto aberto

conjunto fechado

Conjuntos abertos e conjuntos fechados

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

189 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm

Definição e exemplos
Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Limites
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

190 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm

Definição e exemplos
Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Limites
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

191 / 460

§2.2.1 Definição e exemplos

Seja D um subconjunto não vazio de Rn . Uma função
f : D Rn Rm
associa a cada elemento x = (x1 , . . . , xn ) de D um e um só elemento de
Rm que representaremos por f (x). Como f (x) Rm , tem-se
f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x))
onde
f1 : D Rn R

f2 : D Rn R
..
.

fm : D Rn R.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

192 / 460

§2.2.1 Definição e exemplos

Assim, cada função f : D Rn Rm pode ser definida por m funções
f1 : D Rn R

f2 : D Rn R
..
.

fm : D Rn R,
funções essas que se designam por funções coordenadas de f . Nestas
condições escreve-se
f = (f1 , f2 , . . . , fm ) .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

193 / 460

§2.2.1 Definição e exemplos

As funções
f : D Rn R

designam-se por funções escalares e as funções
f : D Rn Rm , m > 1,
designam-se por funções vectoriais.
O conjunto D no qual está definida a função designa-se por domínio
de f e o conjunto de todas as imagens de uma função designa-se por
contradomínio de f , ou seja, o contradomínio de uma função
f : D Rn Rm
é o conjunto
f (D) = {f (x) Rm : x D} .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

194 / 460

§2.2.1 Definição e exemplos

Exemplos de funções f : D Rn Rm
a) Seja f a função dada por

f (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y), f3 (x, y))
= (ln(y - x), sen x, 1) .
O domínio de f é o conjunto
D = (x, y) R2 : y - x > 0
= (x, y) R2 : y > x
Obviamente, f : D R2 R3 e o seu contradomínio é o conjunto
f (D) = (a, b, c) R3 : - 1 b 1, c = 1 .
Esta função é uma função vectorial pois o seu contradomínio é um
subconjunto de R3 .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

195 / 460

§2.2.1 Definição e exemplos

Exemplos de funções f : D Rn Rm (continuação)

a) (continuação) Façamos a representação geométrica do domínio

da função f :

D = (x, y) R2 : y > x
y

y=x

D
1
1

César Silva (UBI)

Cálculo II

x

2009/2010

196 / 460

§2.2.1 Definição e exemplos

Exemplos de funções f : D Rn Rm (continuação)
b) Consideremos a função escalar dada por

f (x, y) = x ln y 2 - x .
O domínio de f é o conjunto
D = (x, y) R2 : y 2 - x > 0
= (x, y) R2 : y 2 > x
Assim, f : D R2 R e o contradomínio de f é R.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

197 / 460

§2.2.1 Definição e exemplos

Exemplos de funções f : D Rn Rm (continuação)

b) (continuação) Façamos a representação geométrica do domínio

da função f :

D = (x, y) R2 : y 2 > x
y

D

x = y2


2

1

1

César Silva (UBI)

Cálculo II

2

x

2009/2010

198 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm

Definição e exemplos
Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível
Limites
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

199 / 460

§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível

Dada uma função f : D Rn Rm designa-se por gráfico de f o
conjunto
G (f ) = {(a, f (a)) : a D} .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

200 / 460

§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível

Gráfico da função dada por f (x, y) = x2 + y 2
Seja f a função dada por
f (x, y) = x2 + y 2 .
O domínio desta função é R2 e o seu contradomínio é [0, +[. O
gráfico desta função é o conjunto
G (f ) =

(x, y), x2 + y 2 : (x, y) R2 .

Costuma identificar-se o ponto (x, y), x2 + y 2 de R2 × R com o ponto
x, y, x2 + y 2 de R3 . Assim,
G (f ) =

César Silva (UBI)

x, y, x2 + y 2 : (x, y) R2 .

Cálculo II

2009/2010

201 / 460

§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível

Gráfico da função dada por f (x, y) = x2 + y 2 (continuação)
Façamos a representação geométrica do gráfico de f :
f (x, y)

5

2
1

y

x

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

202 / 460

§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível

Sejam f : D Rn R uma função e k R. O conjunto
Ck = {x D : f (x) = k}
designa-se por conjunto de nível k. Em R2 os conjuntos de nível
designam-se por curvas de nível e em R3 designam-se por
superfícies de nível.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

203 / 460

§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível

Curvas de nível da função dada por f (x, y) = x2 + y 2
Consideremos novamente a função f : R2 R dada por
f (x, y) = x2 + y 2 .
As curvas de nível desta função são
Ck = (x, y) R2 : x2 + y 2 = k .
Assim, se k < 0 temos Ck = . Se k = 0 temos C0 = {(0, 0)}.
Finalmente, para k> 0 a curva de nível é uma circunferência centrada
em (0, 0) e de raio k.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

204 / 460

§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível

Curvas de nível da função dada por f (x, y) = x2 + y 2 (continuação)
As curvas de nível 1, 2 e 3 estão representadas na figura seguinte
y

1

César Silva (UBI)

Cálculo II


2 3

x

2009/2010

205 / 460

§2.2.2 Gráfico, curvas de nível e superfícies de nível

Curvas de nível da função dada por f (x, y) = x2 + y 2 (continuação)
As curvas de nível podem ajudar a representar geometricamente o
gráfico da função:
f (x, y)

3
2
1
y

x
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

206 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Limites

Definição, propriedades e exemplos
Limites relativos e limites direccionais
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

207 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Limites

Definição, propriedades e exemplos
Limites relativos e limites direccionais
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

208 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Comecemos por recordar a definição de limite para funções

ou seja, quando n = m = 1.

f : D R R,

Sejam D um subconjunto de R, f : D R uma função, a um ponto de
acumulação de D e b R. Diz-se que b é o limite (de f ) quando x
tende para a, e escreve-se
lim f (x) = b,

xa

se para cada > 0, existe > 0 tal que
|f (x) - b| < para qualquer x D tal que 0 < |x - a| < .
Simbolicamente, tem-se o seguinte
lim f (x) = b > 0 > 0 x D (0 < |x - a| < |f (x) - b| < )

xa

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

209 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

A figura seguinte ilustra o conceito de limite de funções
f : D R R.
y

f (a)
b+
b+
b
b-
b-

a+a+a+
a-a-a-
a-aa+

x

Interpretação geométrica do conceito de limite de uma função real de variável real
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

210 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Para generalizarmos o conceito de limite para funções
f : D Rn Rm

temos de utilizar normas em vez de módulos.
Deste modo, sejam D um subconjunto de Rn ,
f : D Rn Rm

uma função, a um ponto de acumulação de D e b Rm . Dizemos que b
é o limite de f quando x tende para a, e escreve-se
lim f (x) = b,

xa

se para cada > 0, existe > 0 tal que
f (x) - b < para qualquer x D tal que 0 < x - a < .

Simbolicamente, tem-se o seguinte:

lim f (x) = b > 0 > 0 x D (0 < x - a < f (x) - b < ) .

xa

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

211 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Para interpretar geometricamente a definição de limite basta observar que
f (x) - b < é equivalente a f (x) B (b)
e que
0 < x - a < é equivalente a x B (a) \ {a} .

Rn

f

Rm

D
f (D)
f (a)

a
b

x

f (x)

Interpretação geométrica do limite em a de uma função f : D Rn Rm
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

212 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Se a for um ponto isolado do domínio D, então a definição dada atrás
não se pode aplicar porque, quando a é um ponto isolado de D, é
possível escolher > 0 tal que
0< x-a <
é falso para qualquer x D.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

213 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Propriedades
a) O limite de de uma função (quando existe) é único.
b) Sejam D um subconjunto de Rm tal que
a = (a1 , . . . , an ) Rn

um ponto de acumulação de D e seja

b = (b1 , . . . , bm ) Rm .

Se
uma função tal que

f : D Rn Rm
f = (f1 , . . . , fm ) ,

então
lim f (x) = b se e só se lim fi (x) = bi , i = 1, . . . , m.

xa

César Silva (UBI)

xa

Cálculo II

2009/2010

214 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Propriedades (continuação)
c) Sejam D Rn , f, g : D Rm , : D R e a um ponto de acumulação
de D. Suponhamos que existem
lim f (x), lim g(x) e lim (x).

xa

Então

xa

xa

i) existe lim [f (x) + g(x)] e
xa

lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x);

xa

xa

xa

ii) existe lim [(x)f (x)] e
xa

lim [(x)f (x)] = lim (x) . lim f (x) ;

xa

xa

1
e
(x)

iii) se lim (x) = 0, existe lim
xa

xa

lim

xa
César Silva (UBI)

xa

1
1
=
.
(x)
lim (x)

Cálculo II

xa

2009/2010

215 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Propriedades (continuação)
d) Sejam D um subconjunto de Rn , a um ponto de acumulação de D e
f, g : D Rn R.
Suponhamos que
lim f (x) = 0

xa

e g é uma função limitada numa bola centrada em a. Então
lim [f (x).g(x)] = 0.

xa

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

216 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Propriedades (continuação)
e) Sejam
f : Df Rn Rm

e
duas funções tais que

g : Dg Rm Rk
f (Df ) Dg .

Suponhamos que a Rn é um ponto de acumulação de Df e que
b Dg é um ponto de acumulação de Dg . Se
lim f (x) = b e

xa

lim g(x) = g(b),

xb

então
lim (g f )(x) = lim g(f (x)) = g(b).

xa
César Silva (UBI)

xa

Cálculo II

2009/2010

217 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Rn

Rm

Df

f Df

Dg

g (Dg )
g

f
a

Rk

b = f (a)

g(b) = g(f (a))

gf
Composição de funções

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

218 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Exemplos
a) Seja f : R2 R3 a função definida por
f (x, y) = (x + y, sen(x + 2y), cos x) .
Então
f = (f1 , f2 , f3 )
onde
f1 , f2 , f3 : R2 R

são as funções definidas por
f1 (x, y) = x + y,

César Silva (UBI)

f2 (x, y) = sen(x + 2y)

Cálculo II

e f3 (x, y) = cos x.

2009/2010

219 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
a) (continuação) Como
lim

f1 (x, y) =

lim

f2 (x, y) =

(x,y)(/2,0)
(x,y)(/2,0)

lim

x + y = /2 + 0 = /2

lim

sen(x + 2y)

(x,y)(/2,0)
(x,y)(/2,0)

= sen(/2 + 2.0) = sen(/2) = 1
lim

(x,y)(/2,0)

f3 (x, y) =

lim

(x,y)(/2,0)

cos x = cos(/2) = 0,

temos
lim

(x,y)(/2,0)

=

f (x, y)

lim

(x,y)(/2,0)

f1 (x, y),

lim

(x,y)(/2,0)

f2 (x, y),

lim

(x,y)(/2,0)

f3 (x, y)

= (/2, 1, 0) .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

220 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Exemplos (continuação)
b) Seja f : R2 R a função dada por




xy 2
f (x, y) = x2 + y 2

0

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0).

Esta função pode ser escrita, quando (x, y) = (0, 0), da seguinte
forma
y2
.
x 2
x + y2

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

221 / 460

§2.3.1 Definição, propriedades e exemplos

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Como
0

x2

lim

(x,y)(0,0)

x=0e

y2
é limitada, pois
x2 + y 2

y2
1 para cada (x, y) R2 \ {(0, 0)} ,
+ y2

podemos concluir que
xy 2
= 0.
(x,y)(0,0) x2 + y 2
lim

e, consequentemente,
lim

(x,y)(0,0)

César Silva (UBI)

f (x, y) = 0.

Cálculo II

2009/2010

222 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Limites

Definição, propriedades e exemplos
Limites relativos e limites direccionais
Continuidade
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

223 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Seja A um subconjunto de D Rn e a um ponto de acumulação de A.
Chama-se limite relativo a A da função
f : D Rn Rm
no ponto a (ou limite quando x tende para a no conjunto A) ao
limite em a (quando exista) da restrição de f a A e usa-se a notação
lim f (x).

xa
xA

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

224 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

É evidente para qualquer função
f : D Rn R
se existe
lim f (x),

xa

então também existe
lim f (x)

xa
xA

para qualquer subconjunto A de D tal que a é ponto de acumulação de
Ae
lim f (x) = lim f (x).
xa
xA

xa

Assim, se existirem dois limites relativos distintos, o limite não existe.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

225 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Além disso, dada uma função
f : D Rn R,
se A1 e A2 são dois subconjuntos de Rn tais que a é ponto de
acumulação de A1 e de A2 ,
D = A1 A2
e existem e são iguais os limites
lim f (x)

xa
xA1

e

lim f (x),

xa
xA2

então também existe
lim f (x)

xa

e
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x).

xa
César Silva (UBI)

xa
xA1

Cálculo II

xa
xA2

2009/2010

226 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Exemplo
Seja f : R2 \ {(0, 0)} R a função definida por
f (x, y) =

x2 - y 2
.
x2 + y 2

Considerando os conjuntos
A = {(x, 0) : x R \ {0}} e B = {(0, y) : y R \ {0}}
temos
lim

(x,y)(0,0)
(x,y)A

x2
= lim 1 = 1
x0 x2
x0

f (x, y) = lim f (x, 0) = lim
x0

e
lim

(x,y)(0,0)
(x,y)B

-y 2
= lim -1 = -1.
y0 y 2
y0

f (x, y) = lim f (0, y) = lim

César Silva (UBI)

y0

Cálculo II

2009/2010

227 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Exemplo (continuação)
Como
lim

(x,y)(0,0)
(x,y)A

f (x, y) =

lim

(x,y)(0,0)
(x,y)B

f (x, y),

não existe
lim

(x,y)(0,0)

César Silva (UBI)

f (x, y).

Cálculo II

2009/2010

228 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Para funções reais de variável real, f : D R R, considerando os
conjuntos
Da+ = {x D : x > a} = D ]a, +[
e

Da- = {x D : x < a} = D ] - , a[,

obtemos os limites laterais à direita e à esquerda da seguinte
forma
lim+ f (x) = lim f (x)
xa

xa
xDa+

e
lim f (x) = lim f (x),

xa-

xa
xDa-

desde que a seja ponto de acumulação de Da+ e de Da- , respectivamente.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

229 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
A generalização natural dos limites laterais a funções
f : D Rn Rm

é dada pelos limites direccionais. Se a e v são elementos de Rn , com v = 0,
então
x Rn : x = a + tv, t R+

é a semi-recta de origem a e com a direcção e o sentido de v. Dada uma função
fazendo

f : D Rn Rm ,
A = x D : x = a + tv, t R+ ,

e supondo que a é ponto de acumulação de A, chama-se a
lim f (x)

xa
xA

limite (direccional) de f no ponto a segundo v. Este limite obtém-se
calculando
lim+ f (a + tv).
t0

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

230 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais
Observações
a) Sejam D um subconjunto de Rn ,
f : D Rn R

uma função e a, v Rn . Se existe

lim f (a + tv),

t0+

então, fazendo u = v, R+ , também existe
lim f (a + tu)

t0+

e
lim f (a + tv) = lim+ f (a + tu).

t0+

t0

b) Tendo em conta a observação anterior, para calcular os limites
direccionais basta considerar vectores de norma um. Assim, para funções
f : D R2 R,

basta considerar vectores
v = (cos , sen ) , [0, 2[.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

231 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Exemplo
Consideremos novamente a função f : R2 \ {(0, 0)} R definida por
f (x, y) =
Fazendo

x2 - y 2
.
x2 + y 2

v = (cos , sen ) ,
com [0, 2[, temos

t2 cos2 - t2 sen2
t0+ t2 cos2 + t2 sen2
= cos2 - sen2

lim f (0 + t cos , 0 + t sen ) = lim

t0+

e, como os limites direccionais dependem do vector v, podemos concluir
que não existe
lim

(x,y)(0,0)
César Silva (UBI)

f (x, y).

Cálculo II

2009/2010

232 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Para funções f : D R R é fácil provar que se existem
lim f (x)

e

xa+

lim f (x)

xa-

e
lim f (x) = lim f (x),

xa+

xa-

então também existe
lim f (x)

xa

e
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x).

xa

xa+

xa-

No entanto, para funções
f : D Rn Rm , n > 1,
é possível existirem e serem iguais todos os limites direccionais, sem que
o limite da função exista. Vejamos um exemplo em que isso acontece.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

233 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Exemplo
No ponto (0, 0) todos os limites direccionais da função
f : R2 \ {(0, 0)} R
definida por
f (x, y) =

x2 y
x4 + y 2

são iguais a zero. De facto, fazendo
v = (cos , sen ) ,
com [0, 2[, temos, para ]0, [], 2[,

t3 cos2 sen
t0+
t0+ t4 cos4 + t2 sen2
0
t cos2 sen
=
= 0.
= lim 2
0 + sen2
t0+ t cos4 + sen2

lim f ((0, 0) + tv) = lim f (t cos , t sen ) = lim

t0+

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

234 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Exemplo (continuação)
Se = 0 vem
lim f (t, 0) = lim

t0+

t0+

t2 0
= lim 0 = 0.
t4 + 02 t0+

e se = temos
lim f (-t, 0) = lim

t0+

t0+

(-t)2 0
= lim 0 = 0.
(-t)4 + 02 t0+

Assim, todos os limites direccionais são iguais a zero.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

235 / 460

§2.3.2 Limites relativos e limites direccionais

Exemplo (continuação)
No entanto, considerando o conjunto
A = (x, y) R2 \ {(0, 0)} : y = x2
temos
lim

(x,y)(0,0)
xA

t4
1
1
t2 .t2
=
lim
= lim =
4
2
2
4
t0 2t
t0 2
t0 t + (t )
2

f (x, y) = lim f (t, t2 ) = lim
t0

que é diferente dos limites direccionais. Logo não existe
lim

x2 y
.
+ y2

(x,y)(0,0) x4

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

236 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Limites
Continuidade

Definição, propriedades e exemplos
Teorema de Weierstrass
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

237 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Limites
Continuidade

Definição, propriedades e exemplos
Teorema de Weierstrass
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

238 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos

Sejam D um subconjunto de Rn ,
f : D Rn Rm
uma função e a D. Diz-se que f é contínua no ponto a se para
cada > 0, existir > 0 tal que
f (x) - f (a) < para qualquer x D tal que x - a < .
Simbolicamente,
f é contínua em a
> 0 > 0 x D ( x - a < f (x) - f (a) < ) .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

239 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos

Assim temos a seguinte interpretação geométrica de continuidade num
ponto.
Rn

f

Rm

D
f (D)

a


x

f (a)
f (x)

Função de Rn em Rm contínua no ponto a
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

240 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos

Dizemos que a D é um ponto de descontinuidade de
f : D Rn Rm
se f não é contínua em a.
Uma função
f : D Rn Rm

é contínua se for contínua em todos os pontos de D.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

241 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Observações
a) Ao contrário do que acontece na definição de limite, só faz sentido
considerar pontos do domínio D quando estamos a investigar a
continuidade de uma função.
b) Se a é um ponto isolado de D, então a função f : D Rm é contínua em
a. De facto, dado > 0, basta escolher > 0 tal que
Assim, a condição

B (a) D = {a} .

x D x - a < é equivalente a x = a
e, por conseguinte,
f (x) - f (a) = 0 < .

Em particular, se D só tem pontos isolados, então qualquer função
f : D Rm é contínua.
c) Se a D é um ponto de acumulação de D, então f : D Rm é contínua
em a se e só se
lim f (x) = f (a).
xa

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

242 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos

Exemplos
a) Num exemplo anterior estudamos a função
f : R2 R3
dada por
f (x, y) = (x + y, sen(x + 2y), cos x)
e vimos que
lim

(x,y)(/2,0)

f (x, y) = (/2, 1, 0) .

Como
f (/2, 0) = (/2, 1, 0) ,
a função é contínua no ponto (/2, 0).

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

243 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplos (continuação)
b) Seja f : R2 R a função é definida por
2
2
x - y
se (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2

0
se (x, y) = (0, 0).
Fazendo
A = (x, y) R2 : x = 0

temos
lim

(x,y)(0,0)
xA

e

B = (x, y) R2 : y = 0 ,

02 - y 2
-y 2
= lim 2 = lim -1 = -1
2
2
y0 0 + y
y0 y
y0

f (x, y) = lim f (0, y) = lim
y0

e
lim

(x,y)(0,0)
xB

x2
x2 - 02
= lim 2 = lim 1 = 1.
2
2
x0 x
x0
x0 x + 0

f (x, y) = lim f (x, 0) = lim

César Silva (UBI)

x0

Cálculo II

2009/2010

244 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Como
lim

(x,y)(0,0)
xA

não existe

f (x, y) =

lim

(x,y)(0,0)
xB

f (x, y),

x2 - y 2
.
(x,y)(0,0) x2 + y 2
lim

Logo a função não é contínua em (0, 0).
No entanto, em qualquer ponto (a, b) = (0, 0) esta função é contínua
porque
x2 - y 2
a2 - b2
lim
=
= f (a, b).
a2 + b2
(x,y)(a,b) x2 + y 2
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

245 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos

Propriedades
a) Sejam
uma função tal que

f : D Rn Rm
f = (f1 , . . . , fm )

e a um elemento de D. Então
f é contínua em a
se e só se todas as suas funções coordenadas
fi são contínuas em a.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

246 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos

Propriedades (continuação)
b) Sejam
f, g : D Rn Rm

duas funções contínuas em a D e

: D R
uma função contínua em a. Então
f + g e f são contínuas em a
e, se (a) = 0, então
1
é contínua em a.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

247 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos

Propriedades (continuação)
c) Sejam
e

f : Df Rn Rm
g : Dg Rm Rk

duas funções tais que f (Df ) Dg . Se

f é contínua em a Df
e
g é contínua em f (a),
então
g f é contínua em a.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

248 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos
Exemplo
Seja f : R2 R a função dada por

2
x y
f (x, y) = x4 + y 2

0

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0).

Já vimos num exemplo anterior que fazendo

temos

A = (x, y) R2 : y = 0

e

0
x2 0
= lim 4 = lim 0 = 0
x0 x
x0
x0 x4 + 02

lim

f (x, y) =

lim

f (x, y) = lim f (x, x2 ) = lim

(x,y)(0,0)
xA

(x,y)(0,0)

e
(x,y)(0,0)
xB

César Silva (UBI)

lim

x0

B = (x, y) R2 : y = x2 ,

f (0, y) = lim

x2 x2
x4
1
1
=
lim
= lim = .
x0 x4 + (x2 )2
x0 2x4
x0 2
2

Cálculo II

2009/2010

249 / 460

§2.4.1 Definição, propriedades e exemplos

Exemplo (continuação)
Como
lim

(x,y)(0,0)
xA

f (x, y) =

não existe
lim

lim

(x,y)(0,0)
xB

f (x, y),

x2 y
+ y2

(x,y)(0,0) x4

e, portanto, a função não é contínua em (0, 0).
No entanto, em qualquer ponto (a, b) = (0, 0) esta função é contínua
porque pode ser escrita como a composição de funções contínuas.
Outra forma de provarmos que f é contínua em qualquer pontos
(a, b) = (0, 0) é observarmos que
a2 b
x2 y
=
= f (a, b).
a4 + b2
(x,y)(a,b) x4 + y 2
lim

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

250 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade
Breves noções de topologia em Rn
Funções de Rn em Rm
Limites
Continuidade

Definição, propriedades e exemplos
Teorema de Weierstrass
3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

251 / 460

§2.4.2 Teorema de Weierstrass

Seja f : D Rn R uma função escalar e A um subconjunto não
vazio de D. Dizemos que f tem um máximo (absoluto) no ponto
a A ou que f (a) é um máximo (absoluto) de f em A se
f (x) f (a) para todo o x A.
Quando
f (x) f (a) para todo o x A,

dizemos que f tem um mínimo (absoluto) no ponto a A ou que
f (a) é um mínimo (absoluto) de f em A. Os máximos e mínimos
(absolutos) de f em a dizem-se extremos absolutos de f em A.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

252 / 460

§2.4.2 Teorema de Weierstrass

Teorema de Weierstrass
Seja
f : D Rn R

uma função contínua num subconjunto não vazio, fechado e limitado
A D. Então f tem máximo e mínimo em A.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

253 / 460

§2.4.2 Teorema de Weierstrass

Exemplo
Sejam
A = (x, y) R2 : |x| 1, |y| 1
e f a função dada por
f (x, y) = x + y sen x.
A função f é contínua em R2 e, portanto, é contínua em A. Como A é
fechado e limitado, f tem máximo e mínimo no conjunto A.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

254 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função composta
Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz
Teorema da função implícita
Extremos locais e extremos absolutos
Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

255 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função composta
Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz
Teorema da função implícita
Extremos locais e extremos absolutos
Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

256 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Comecemos por recordar como se define derivada de funções reais de
variável real. Sejam D um subconjunto não vazio de R, f : D R e
a D um ponto de acumulação de D. Diz-se que f é derivável ou
diferenciável em a se existe (e é finito) o limite:
lim

xa

f (x) - f (a)
.
x-a

Tal limite (quando existe) diz-se a derivada de f no ponto a e
df
(a). Fazendo a
representa-se por f (a), Df (a) ou ainda por
dx
mudança de variável x = a + h, temos
f (a + h) - f (a)
.
h0
h

f (a) = lim

Aqui têm apenas de se considerar os valores de h tais que a + h D.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

257 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Diz-se que a função f : D R é derivável ou diferenciável em D se
for derivável em todo o ponto de D e à nova função
f : D R,
que a cada ponto x D faz corresponder f (x), chama-se derivada de
df
f e representa-se também por Df ou
.
dx

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

258 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

O quociente

f (a + h) - f (a)
h
representa o declive da recta que passa pelos pontos
(a, f (a)) e (a + h, f (a + h)) .

Fazendo h tender para zero, a recta que passa nos pontos
(a, f (a)) e (a + h, f (a + h)) ,
vai tender para a recta tangente ao gráfico de f e que passa no pontos
(a, f (a)). Assim, geometricamente, a derivada de uma função num
ponto do domínio é o declive da recta tangente ao gráfico da função no
ponto considerado. Portanto, a recta tangente ao gráfico de uma
função f no ponto (a, f (a)) é a recta de equação
y = f (a) + f (a)(x - a).
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

259 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

y = f (a) + f (a)(x - a)

f
f (a
(a +
+ h)
h)
f (a + h)
f (a)

f (a) = tg

a a + ah + ah + ah + h

Interpretação geométrica do conceito de derivada
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

260 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Pretendemos generalizar o conceito de derivada a funções
f : D Rn Rm .
Por uma questão de economia de escrita, consideraremos, inicialmente,
funções
f : D R2 R.
Como habitualmente, escreveremos (x, y) em vez de (x1 , x2 ) para
representar os elementos de R2 .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

261 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Sejam D um subconjunto não vazio de R2 e f : D R2 R uma função.

A derivada parcial de f em relação a x (ou em ordem a x) é a função
f
que se obtém derivando (caso a derivada exista) f em relação a x,
x
tratando y como se fosse uma constante. Por exemplo, se f : R2 R é a
função definida por
f (x, y) = 2x3 y - 4x sen(y),
temos

f
(x, y) = 6x2 y - 4 sen(y).
x
De igual modo, a derivada parcial de f em relação a y (ou em ordem a
f
que se obtém derivando (caso a derivada exista) f em
y) é a função
y
relação a y, tratando x como se fosse uma constante. Assim, no exemplo dado
temos
f
(x, y) = 2x3 - 4x cos(y).
y
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

262 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Vejamos como definir de modo mais formal as derivadas parciais.
Sejam D um subconjunto de R2 , f : D R2 R uma função e
(a, b) D. Suponhamos que (a, b) é um ponto de acumulação de
{(x, y) D : y = b} .
Representa-se por
f
(a, b), fx (a, b)
x

ou

Dx f (a, b),

a derivada parcial de f em relação a x (ou em ordem a x) no
ponto (a, b) e define-se da seguinte forma
f
f (a + h, b) - f (a, b)
(a, b) = lim
h0
x
h
quando este limite exista (e seja finito).
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

263 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Analogamente, se (a, b) D é ponto de acumulação de
{(x, y) D : x = a} ,
representa-se por
f
(a, b), fy (a, b)
y

ou

Dy f (a, b),

a derivada parcial de f em ordem a y no ponto (a, b) e define-se
da seguinte forma
f
f (a, b + k) - f (a, b)
(a, b) = lim
,
k0
y
k
quando este limite existe.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

264 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
z
f
(a, b) = tg
x
f
(a, b) = tg
y
f (a, b)

b

y


a



x
Interpretação geométrica das derivadas parciais
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

265 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Seja f : D R2 R uma função. A função que a cada (x, y) associa
f
(x, y) designa-se por (função) derivada parcial de f em ordem
x
a x e representa-se por
f
, fx
x

ou

Dx f.

Obviamente, o seu domínio é o conjunto
(x, y) D : existe

f
(x, y) .
x

Do mesmo modo, define-se (função) derivada parcial de f em
ordem a y que se representa por
f
, fy
y
César Silva (UBI)

ou

Cálculo II

Dy f.
2009/2010

266 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Exemplos de derivadas parciais
a) Considerando a função f : R2 R definida por
f (x, y) = x2 + y 2 + sen(xy)
temos
e

César Silva (UBI)

f
(x, y) = 2x + y cos(xy)
x
f
(x, y) = 2y + x cos(xy).
y

Cálculo II

2009/2010

267 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Exemplos de derivadas parciais (continuação)
b) A função f : R2 R definida por
f (x, y) = sen x2 + y 3 + ex-cos(xy)
tem as seguintes derivadas parciais
f
(x, y) = 2x cos x2 + y 3 + (1 + y sen (xy)) ex-cos(xy)
x
e

f
(x, y) = 3y 2 cos x2 + y 3 + x sen (xy) ex-cos(xy) .
y

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

268 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Exemplos de derivadas parciais (continuação)
c) Seja f : R2 R a função definida por

2
(x - 1)y
f (x, y) = (x - 1)2 + y 2

0
Então

se (x, y) = (1, 0),
se (x, y) = (1, 0).

f (1 + h, 0) - f (1, 0)
f
(1, 0) = lim
= lim
h0
h0
x
h
0
0
2
= lim h = lim = lim 0 = 0
h0 h
h0
h0 h

(1+h-1)02
(1+h-1)2 +02

h

-0

e
f (1, 0 + k) - f (1, 0)
f
(1, 0) = lim
= lim
k0
k0
y
k
= lim

k0

César Silva (UBI)

0
k2

k

= lim

k0

(1-1)k2
(1-1)2 +k2

k

-0

0
= lim 0 = 0.
k k0

Cálculo II

2009/2010

269 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
Exemplos de derivadas parciais (continuação)
d) Seja f : R2 R a função dada por

2
x
f (x, y) = x2 + y 2

0

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0).

Então

f
f (0 + h, 0) - f (0, 0)
(0, 0) = lim
= lim
h0
h0
x
h

h2
h2 +02

h

-0

= lim

h0

h2
h2

h

= lim

h0

1
h

e este limite não existe. Logo f não tem derivada parcial em ordem a x no
ponto (0, 0). Por outro lado,
f (0, 0 + k) - f (0, 0)
f
(0, 0) = lim
= lim
k0
k0
y
k
0
0
2
= lim k = lim = lim 0 = 0.
k0 k
k0 k
k0
César Silva (UBI)

Cálculo II

02
02 +k2

k

-0

2009/2010

270 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Nas definições de derivadas parciais, dadas atrás, consideramos
acréscimos da função quando o ponto do domínio percorre segmentos
paralelos aos eixos. Este facto sugere que generalizemos a definição de
derivadas parcial segundo qualquer direcção.
Dados um subconjunto D de R2 , uma função
f : D R2 R,
a = (a1 , a2 ) D e u = (u1 , u2 ) um vector de R2 , chama-se derivada
de f no ponto a segundo o vector u ao limite, quando existe,
f (a1 + tu1 , a2 + tu2 ) - f (a1 , a2 )
f (a + tu) - f (a)
= lim
t0
t0
t
t
lim

e representa-se por
fu (a)
César Silva (UBI)

ou

Du f (a).

Cálculo II

2009/2010

271 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Quando
u =1
as derivadas segundo vectores costumam designar-se por derivadas
direccionais, se bem que será mais correcto falar em derivada dirigida
ou derivada radial segundo u pois a derivada, para além de depender
da direcção, também depende do sentido de u.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

272 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais
z
fu (a, b) = tg

f (a, b)

b
a
u

y


x
Interpretação geométrica da derivada segundo um vector
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

273 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Exemplo
Consideremos a função f : R2 R definida por




xy 2
f (x, y) = x2 + y 2

0

se (x, y) = (0, 0)
se (x, y) = (0, 0)

Fazendo u = (cos , sen ), [0, 2[, temos
f (0 + t cos , 0 + t sen ) - f (0, 0)
t
2
2
t cos t sen
2 cos2 + t2 sen2
t
= lim
t0
t
3
t cos sen2
= lim 3
t0 t (cos2 + sen2 )

fu (0, 0) = lim

t0

= sen2 cos .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

274 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Dada uma função f : D R2 R e considerando os vectores
e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), temos
f (a + te1 ) - f (a)
t
f (a1 + t, a2 ) - f (a1 , a2 )
= lim
t0
t
f
=
(a)
x

fe1 (a) = lim

t0

e
f (a + te2 ) - f (a)
t0
t
f (a1 , a2 + t) - f (a1 , a2 )
= lim
t0
t
f
=
(a).
y

fe2 (a) = lim

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

275 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

No caso geral em que temos uma função
f : D Rn Rm
definimos, para a = (a1 , . . . , an ), as seguintes derivadas parciais:
f
f (a1 + h, a2 , . . . , an ) - f (a1 , . . . , an )
f
(a) =
(a1 , . . . , an ) = lim
h0
x1
x1
h
f
f (a1 , a2 + h, a3 , . . . , an ) - f (a1 , . . . , an )
f
(a) =
(a1 , . . . , an ) = lim
h0
x2
x2
h
..
.
f
f
f (a1 , . . . , an-1 , an + h) - f (a1 , . . . , an )
(a) =
(a1 , . . . , an ) = lim
h0
xn
xn
h

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

276 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

f
(x) designa-se por
x1
(função) derivada parcial de f em ordem a x1 e representa-se por
A função que a cada x = (x1 , . . . , xn ) associa

f
, f x1
x1

ou

Dx1 f.

Obviamente, o seu domínio é o conjunto
x D : existe

f
(x) .
x1

Do mesmo modo, define-se (função) derivada parcial de f em
ordem a xi , i = 2, . . . , n, que se representa por
f
, f xi
xi
César Silva (UBI)

ou

Cálculo II

Dxi f.

2009/2010

277 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Também podemos definir derivadas segundo vectores para funções
f : D Rn Rm .
Assim, se
f : D Rn Rm

e a = (a1 , . . . , an ) D chama-se derivada de f no ponto a segundo o
vector u = (u1 , . . . , un ) Rn ao limite, caso este exista,
lim

t0

f (a1 + tu1 , a2 + tu2 , . . . , an + tun ) - f (a1 , a2 , . . . , an )
f (a + tu) - f (a)
= lim
t0
t
t

e representa-se por
fu (a)

César Silva (UBI)

ou

Du f (a).

Cálculo II

2009/2010

278 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Quando
u = 1,
as derivadas
fu (a)
designam-se por derivadas direccionais, se bem que o mais correcto
seria falar em derivada dirigida ou derivada radial segundo u, pois esta
derivada para além de depender da direcção também depende do
sentido de u.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

279 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Se considerarmos em Rn os vectores e1 = (1, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) temos
fe1 (a) =

f
(a)
x1

fe2 (a) =

f
(a)
x2

..
.
fen (a) =

César Silva (UBI)

f
(a).
xn

Cálculo II

2009/2010

280 / 460

§3.1 Derivadas parciais e derivadas direccionais

Das propriedades dos limites resulta imediatamente que se

temos

f : D Rn Rm

e

f = (f1 , . . . , fm ) , m > 1

f
(a) =
x1

f1
f2
fm
(a),
(a), . . . ,
(a)
x1
x1
x1

f
(a) =
x2

f1
f2
fm
(a),
(a), . . . ,
(a)
x2
x2
x2

..
.
f
(a) =
xn

f1
f2
fm
(a),
(a), . . . ,
(a)
xn
xn
xn

e para cada vector u Rn ,
fu (a) = (f1 )u (a), (f2 )u (a), . . . , (fm )u (a) .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

281 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função composta
Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz
Teorema da função implícita
Extremos locais e extremos absolutos
Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

282 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Uma das primeiras propriedades do cálculo diferencial de funções reais
de variável real diz que se uma função tem derivada num ponto, então
a função é contínua nesse ponto. Para funções com mais do que uma
variável isso não acontece. É possível existirem todas as derivadas
direccionais, sem que a função seja contínua nesse ponto. Vejamos um
exemplo em que isso acontece.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

283 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplo
Consideremos a função f : R2 R definida por




x2 y
f (x, y) = x4 + y 2

0

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0).

Comecemos por calcular as derivadas parciais
f
f (h, 0) - f (0, 0)
0-0
0
(0, 0) = lim
= lim
= lim = lim 0 = 0
h0
h0 h
h0 h
h0
x
h
e
f
f (0, k) - f (0, 0)
0-0
0
(0, 0) = lim
= lim
= lim = lim 0 = 0.
k0
k0
k0 k
k0
y
k
k

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

284 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplo (continuação)
Por outro lado, fazendo
u = (cos , sen ) , [0, 2[,

temos

f (0 + t cos , 0 + t sen ) - f (0, 0)
t0
t
2
2
t cos t sen
4 cos4 + t2 cos2
t
= lim
t0
t
2
cos sen
= lim 2
t0 t cos4 + sen2

2

cos
se [0, 2[\ {0, },
sen
=

0
se {0, }.

fu (0, 0) = lim

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

285 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplo (continuação)
Vejamos que a função f não é contínua em (0, 0). Fazendo
A = (x, y) R2 : y = 0

e

B = (x, y) R2 : y = x2 ,

temos
lim

(x,y)(0,0)
xA

x0

e
lim

(x,y)(0,0)
xB

0
x2 0
= lim 4 = lim 0 = 0
4
2
x0 x
x0
x0 x + 0

f (x, y) = lim f (x, 0) = lim

x2 x2
x4
1
1
=
lim
= lim = ,
x0 x4 + (x2 )2
x0 2x4
x0 2
2

f (x, y) = lim f (x, x2 ) = lim
x0

o que mostra que não existe limite no ponto (0, 0) e, portanto, a função
não é contínua nesse ponto.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

286 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Este exemplo mostra que uma função ter derivadas parciais ou
derivadas direccionais não é uma condição suficiente para que uma
função seja contínua num ponto. É, portanto, necessário um conceito
mais forte.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

287 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Pode-se provar que
Uma função f : D R R tem derivada no ponto a D de
acumulação de D se e só se existem um número real c e uma
função r : D R tais que
f (a + h) = f (a) + ch + r(h) para cada h D
e

r(h)
= 0,
h0 h
lim

onde
D = {h R : a + h D} .

Além disso, nas condições anteriores tem-se c = f (a).

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

288 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Assim, dados uma função f : D R2 R e um ponto (a, b) interior a
D, dizemos que f é diferenciável em (a, b) se existirem as derivadas
parciais de f no ponto (a, b) e existir uma função r : D R, onde
D = (h, k) R2 : (a + h, b + k) D ,
tal que
lim

(h,k)(0,0)

e
f (a + h, b + k) = f (a, b) +

r(h, k)
=0
(h, k)

f
f
(a, b)h +
(a, b)k + r(h, k)
x
y

para quaisquer (h, k) D .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

289 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Fazendo (h, k) (0, 0) em
f (a + h, b + k) = f (a, b) +

f
f
(a, b)h +
(a, b)k + r(h, k)
x
y

temos
lim

(h,k)(0,0)

=

lim

f (a + h, b + k)

(h,k)(0,0)

f (a, b) +

f
f
(a, b)h +
(a, b)k + r(h, k)
x
y

= f (a, b)
o que mostra que uma função é contínua nos pontos onde é
diferenciável!

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

290 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplos
a) Seja f : R2 R a função definida por
f (x, y) =

2 2

x y

x2 + y 2

0

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0),

e estudemos a diferenciabilidade de f no ponto (0, 0). Para f ser
diferenciável em (0, 0) tem de existir r : R2 R tal que
r(h, k)

=0
(h,k)(0,0)
h2 + k2
lim

e
f (h, k) = f (0, 0) +

f
f
(0, 0) h +
(0, 0) k + r(h, k)
x
y

para qualquer (h, k) R2 .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

291 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplos (continuação)
a) (continuação) Assim, calculemos as derivadas parciais de f no
ponto (0, 0):
h2 .02
-0
2
2
f (h, 0) - f (0, 0)
0
f
(0, 0) = lim
= lim h + 0
= lim = lim 0 = 0,
h0
h0
h0 h
h0
x
h
h
02 .k 2
-0
2
2
f
f (0, k) - f (0, 0)
0
(0, 0) = lim
= lim 0 + k
= lim = lim 0 = 0.
k0
k0
k0 k
k0
y
k
k

De
f (h, k) = f (0, 0) +
resulta que

César Silva (UBI)

f
f
(0, 0) h +
(0, 0) k + r(h, k)
x
y

h2 k2
= r(h, k).
h2 + k2
Cálculo II

2009/2010

292 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplos (continuação)
a) (continuação) Como
r(h, k)

lim
=
(h,k)(0,0)
h2 + k2

h2 k 2
2

2

h +k
lim
(h,k)(0,0)
h2 + k2
h2 k2

=
lim
(h,k)(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2
k
h2

=
lim
k 2
2
(h,k)(0,0) h + k
h2 + k2
=0

h2
k
são limitadas, podemos
e
2
2
2
h +k
h + k2
concluir que a função é diferenciável em (0, 0).
pois as funções

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

293 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplos (continuação)
b) Estudemos no ponto (0, 0) a diferenciabilidade da função
f : R2 R dada por




x2 y
f (x, y) = x2 + y 2

0

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0).

Comecemos por calcular as derivadas parciais de f no ponto (0, 0):
f (h, 0) - f (0, 0)
f
(0, 0) = lim
= lim
h0
h0
x
h

h2 .0
-0
0
+ 02
= lim = lim 0 = 0
h0 h
h0
h

h2

e
02 .k
-0
2
2
f (0, k) - f (0, 0)
0
f
(0, 0) = lim
= lim 0 + k
= lim = lim 0 = 0.
k0
k0
k0 k
k0
y
k
k
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

294 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para f ser diferenciável no ponto (0, 0) tem de existir
r(h, k)

=0e
r : R2 R tal que
lim
(h,k)(0,0)
h2 + k2
f (h, k) = f (0, 0) +

f
f
(0, 0) h +
(0, 0) k + r(h, k).
x
y

Desta última igualdade vem
r(h, k) =

h2 k
.
h2 + k2

Vejamos que não existe
h2 k
r(h, k)


=
lim
.
(h,k)(0,0)
h2 + k2 (h,k)(0,0) (h2 + k2 ) h2 + k2
lim

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

295 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Fazendo A = (h, k) R2 : h = k temos
r(h, k)
h
r(h, h)
h3


= lim
= lim
= lim
2
2
2
2
2
2
h0 2 2|h|
h0
h0 2h
(h,k)(0,0)
h +k
h +h
2h
lim

(h,k)A

e este último limite não existe porque
lim

h0+

1
h

=
2 2|h|
2 2

e

lim

h0-

1
h

=- .
2 2|h|
2 2

Logo não existe
r(h, k)

(h,k)(0,0)
h2 + k2
lim

e, portanto, f não é diferenciável em (0, 0).
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

296 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Dada uma função f : D R2 R diferenciável num ponto (a, b)
interior a D, chama-se plano tangente ao gráfico de f no ponto
(a, b, f (a, b)) ao plano definido pela equação
z = f (a, b) +

f
f
(a, b)(x - a) +
(a, b)(y - b).
x
y

Por exemplo, para a função f : R2 R definida por
f (x, y) =

2 2

x y

x2 + y 2


0

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0),

que já vimos ser diferenciável em (0, 0), o plano tangente ao gráfico de
f no ponto (0, 0, f (0, 0)) é dado pela equação
z = 0.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

297 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Se f : D R2 R diferenciável num ponto (a, b) interior a D, a
L(x, y) = f (a, b) +

f
f
(a, b)(x - a) +
(a, b)(y - b)
x
y

chamamos aproximação linear de f no ponto (a, b) e costuma
escrever-se
f (x, y) f (a, b) +

César Silva (UBI)

f
f
(a, b)(x - a) +
(a, b)(y - b).
x
y

Cálculo II

2009/2010

298 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplo
Seja f : R2 R a função dada por f (x, y) = x ey + sen y. Esta função é
diferenciável no ponto (0, 0). Como
f
(x, y) = ey
x
temos

e

f
(x, y) = x ey + cos y
y

f
(0, 0) = 1 e
x

f
(0, 0) = 1.
y

Tendo em conta que f (0, 0) = 0, uma equação do plano tangente ao
gráfico de f no ponto (0, 0, f (0, 0)) = (0, 0, 0) é
z = f (0, 0) +
= x + y.
César Silva (UBI)

f
f
(0, 0)(x - 0) +
(0, 0)(y - 0)
x
y

Cálculo II

2009/2010

299 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Exemplo (continuação)
A aproximação linear de f no ponto (0, 0) é dada por
f (x, y) f (0, 0) +
x + y.

f
f
(0, 0)(x - 0) +
(0, 0)(y - 0)
x
y

Usando a aproximação linear temos
De facto,

f (0.1, 0.2) 0.1 + 0.2 = 0.3

f (0.1, 0.2) = 0.3208096066...

e f (1, 1) 1 + 1 = 2.
e f (1, 1) = 3.559752813...

ou seja, a primeira aproximação é bastante melhor do que a segunda.
Tal deve-se ao facto de a distância de (0.1, 0.2) a (0, 0) ser menor do
que a distância de (1, 1) a (0, 0).
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

300 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Uma função f : D Rn R diz-se diferenciável num ponto interior
a = (a1 , . . . , an ) de D se existirem todas as derivadas parciais de f no
ponto a e uma função r : D R, onde
tal que

D = {h = (h1 , . . . , hn ) Rn : a + h D} ,
r(h)
=0
0 h

lim

h

e
f (a + h) = f (a) +

f
f
(a)h1 + · · · +
(a)hn + r(h),
x1
xn

isto é,
f (a1 + h1 , . . . , an + hn )
f
f
= f (a1 , . . . , an ) +
(a1 , . . . , an )h1 + · · · +
(a1 , . . . , an )hn + r(h1 , . . . , hn ),
x1
xn

para cada vector h = (h1 , . . . , hn ) D .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

301 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Tal como acontecia para funções de R2 para R, se f é diferenciável em
a D, então f é contínua em a.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

302 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Uma função f : D Rn Rm , com f = (f1 , . . . , fm ), diz-se
diferenciável num ponto a = (a1 , . . . , an ) interior a D se todas as
funções f1 , . . . , fm são diferenciáveis em a.
Assim, f é diferenciável em a se as funções f1 , . . . , fm admitem, no
ponto a, derivadas parciais em relação a todas as variáveis e existem
funções r1 , . . . , rm : D R tais que

f1
f1


(a)h1 + · · · +
(a)hn + r1 (h)
f1 (a + h) = f1 (a) +


x1
xn


.

..



fm
fm


fm (a + h) = fm (a) +
(a)h1 + · · · +
(a)hn + rm (h)
x1

xn

para cada h = (h1 , . . . , hn ) D = {h = (h1 , . . . , hn ) Rn : a + h D}
e
rm (h)
r1 (h)
= · · · = lim
= 0.
lim
h
h
h 0
h 0
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

303 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Usando matrizes temos que f é diferenciável em a = (a1 , . . . , an ) se e só
se as funções f1 , . . . , fm admitem, no ponto a, derivadas parciais em
relação a todas as variáveis e existem funções r1 , . . . , rm : D R tais
que







f1 (a + h)
..
.
fm (a + h)









=





f1 (a)
..
.
fm (a)

para cada h D e
lim

h 0

César Silva (UBI)







+



f1
(a)
x1
..
.
fm
(a)
x1




f1
h1
r1 (h)
(a)



xn
. .
..
..





.
.
. .. + ..



fm
···
(a)
hn
rm (h)
xn
···

rm (h)
r1 (h)
= · · · = lim
= 0.
h
h
h 0

Cálculo II

2009/2010

304 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

A matriz



f1
x (a)
1


Ja (f ) = ...

fm
(a)
x1



f1
(a)
xn


..
..

.
.


fm
···
(a)
xn
···

diz-se a matriz jacobiana de f no ponto a.

Quando f é diferenciável em a a matriz jacobiana de f em a designa-se
por derivada de f no ponto a e representa-se por
f (a)

ou

Df (a).

Quando n = m, o determinante de J diz-se o jacobiano da função f e
representa-se por
(f1 , . . . , fn )
.
(x1 , . . . , xn )
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

305 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Propriedades
a) Se f, g : D Rn Rm são diferenciáveis num ponto a interior a D,
então
i) f + g é diferenciável em a e
(f + g) (a) = f (a) + g (a);
ii) para qualquer R, f é diferenciável em a e
(f ) (a) = f (a).

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

306 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Propriedades
b) Se f, g : D Rn R são diferenciáveis num ponto a interior a D,
então
i) f.g é diferenciável em a e
(f.g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a);
ii) se g(a) = 0,

f
é diferenciável em a e
g
f
g

César Silva (UBI)

(a) =

f (a)g(a) - f (a)g (a)
.
[g(a)]2

Cálculo II

2009/2010

307 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Propriedades
c) Se f : D Rn Rm é diferenciável em a e u = (u1 , . . . , un ) Rn ,
então existe fu (a) e


f1
x (a)
1


..
fu (a) = f (a) .u =
.

fm
(a)
x1





f1
(a) u1
xn


..
..
..
.



.
.
.




fm
···
(a)
un
xn

···

d) Sejam D um subconjunto de Rn e f : D Rn R uma função
para a qual existem todas as derivadas parciais. Então f é
diferenciável em todos os pontos em que n - 1 dessas derivadas
parciais são contínuas. Em particular, se todas as derivadas parciais
são contínuas num ponto, a função é diferenciável nesse ponto.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

308 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

Dada uma função
f : D Rn R,

chama-se gradiente de f no ponto a D, e representa-se por
(f ) (a) ou
ao vector
(f ) (a) =

(grad f ) (a),

f
f
(a), . . . ,
(a) ,
x1
xn

desde que existam todas as derivadas parciais (de primeira ordem) de f
no ponto a.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

309 / 460

§3.2 Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm

É de notar que se f : D Rn R é uma função diferenciável num
ponto a interior a D, a propriedade c) que vimos anteriormente fica



u1






f
f
f
f


(a) · · ·
(a) · ... =
(a) u1 + · · · +
(a) un .
fu (a) =


x1
xn
x
x
1
n


un

Recordando que dados b = (b1 , . . . , bn ) e c = (c1 , . . . , cn ) em Rn , o
produto escalar ou interno entre b e c é dado por
b, c = b1 c1 + b2 c2 + · · · + bn cn ,
tem-se
fu (a) =
César Silva (UBI)

f
f
(a) u1 + · · · +
(a) un = (f )(a), u .
x1
xn
Cálculo II

2009/2010

310 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função composta
Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz
Teorema da função implícita
Extremos locais e extremos absolutos
Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

311 / 460

§3.3 Derivada da função composta

Derivada da função composta
Sejam
f : Df Rn Rm

g : Dg Rm Rk

e

funções tais que f (Df ) Dg . Suponhamos que a é um ponto interior
de Df . Se
f é diferenciável em a

e

g é diferenciável em f (a),

então
g f é diferenciável em a

e

(g f ) (a) = g (f (a)) · f (a).

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

312 / 460

§3.3 Derivada da função composta

Fazendo
x = (x1 , . . . , xn ) , f (x) = y = (y1 , . . . , ym )

e

g(y) = z = (z1 , . . . , zk )

resulta que a matriz jacobiana de f no ponto a é




f1
f1
x (a) · · · x (a)
1
n




..
..
..
Ja (f ) =

.
.
.


fm

fm
(a) · · ·
(a)
x1
xn

e a matriz jacobiana de g no ponto b = f (a) é a matriz


g1
y1 (b)


..
Jb (g) =
.

gk
(b)
y1
César Silva (UBI)



g1
(b)
ym


..
..
.
.
.


gk
···
(b)
ym
···

Cálculo II

2009/2010

313 / 460

§3.3 Derivada da função composta
Pondo h = g f , como
h (a) = (g f ) (a) = g (f (a)) · f (a) = g (b) · f (a),
tem-se
Ja (h) = Jb (g) · Ja (f ).

Assim,







h1
(a)
x1
..
.
hk
(a)
x1

e, portanto,


h1
(a)

xn

..
..
=
.
.


hk
···
(a)
xn
···

g1
(b)
y1
..
.
gk
(b)
y1


g1
(b)

ym

..
..
.
.
.


gk
···
(b)
ym

···

f1
(a)
x1
..
.
fm
(a)
x1


f1
(a)

xn

..
..

.
.


fm
···
(a)
xn

···

gi
f1
gi
f2
gi
fm
hi
(a) =
(b)
(a) +
(b)
(a) + · · · +
(b)
(a).
xj
y1
xj
y2
xj
ym
xj
para i = 1, . . . , k e j = 1, . . . , n.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

314 / 460

§3.3 Derivada da função composta

Omitindo os pontos onde estamos a calcular as derivadas parciais e
substituindo as notações
hi gi f
,
e
xj y
xj
por

zi zi y
,
e
,
xj y
xj

respectivamente, a última igualdade do slide anterior fica
zi y1
zi y2
zi ym
zi
=
+
+ ··· +
.
xj
y1 xj
y2 xj
ym xj

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

315 / 460

§3.3 Derivada da função composta

Exemplo
Sejam f : R2 R3 e g : R3 R2 as funções dadas por
f (x, y) = x2 , 3xy, sen(x + y)

e

g(u, v, w) = (u + v - w, 2uv) .

Estas duas funções são diferenciáveis em todo o seu domínio. Então

pelo que

f1
(x, y) = 2x,
x

f1
(x, y) = 0,
y

f2
(x, y) = 3y,
x

f2
(x, y) = 3x,
y

f3
(x, y) = cos(x + y),
x

f3
(x, y) = cos(x + y),
y





2x
0


3y
3x
J(x,y) (f ) =
.
cos(x + y) cos(x + y)
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

316 / 460

§3.3 Derivada da função composta

Exemplo (continuação)
Quanto à função g, atendendo que g(u, v, w) = (u + v - w, 2uv), temos
g1
(u, v, w) = 1,
u
e

g2
(u, v, w) = 2v,
u
e, consequentemente,

g1
(u, v, w) = 1,
v
g2
(u, v, w) = 2u
v

J(u,v,w) (g) =

César Silva (UBI)

g1
(u, v, w) = -1,
w
g2
(u, v, w) = 0
w

1 1 -1
.
2v 2u 0

Cálculo II

2009/2010

317 / 460

§3.3 Derivada da função composta

Exemplo (continuação)
Fazendo h = g f , temos
J(x,y) (h) = Jf (x,y) (g) · J(x,y) (f )
e, portanto, vem
J(x,y) (h) =
=

César Silva (UBI)

1
1
6xy 2x2





2x
0
-1

3y
3x
.

0
cos(x + y) cos(x + y)

2x + 3y - cos(x + y) 3x - cos(x + y)
18x2 y
6x3

Cálculo II

2009/2010

318 / 460

§3.3 Derivada da função composta

Exemplo (continuação)
Este resultado pode ser confirmado directamente pois, mantendo
h = g f , temos
h(x, y) = (g f )(x, y)
= g(f (x, y))

= g(x2 , 3xy, sen(x + y))
= (x2 + 3xy - sen(x + y), 6x3 y)
pelo que
J(x,y) (h) =

César Silva (UBI)

2x + 3y - cos(x + y) 3x - cos(x + y)
18x2 y
6x3

Cálculo II

2009/2010

319 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função composta
Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz
Teorema da função implícita
Extremos locais e extremos absolutos
Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

320 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Sejam D um subconjunto de R2 e
f : D R2 R
uma função. Suponhamos existe a derivada parcial (de primeira
ordem) de f em relação a x. Designaremos por
f x2 ,

fxx ,

2f
,
x2

Dx22 f

ou

2
Dxx
f

f
, caso exista, e chamar-lhe-emos derivada
x x
parcial de segunda ordem da função f duas vezes em ordem a x.
a derivada (fx )x

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

321 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Do mesmo modo se definem a derivada de segunda ordem de f duas
vezes em relação a y:
fy2 fyy

2f
2
f =
Dy22 f Dyy
y 2

fy

y

=


y

f
y

;

a derivada de segunda ordem de f em relação a x e depois em relação a
y:
f
2f
2
Dxy
f = fx y =
;
fxy
yx
y x
a derivada de segunda ordem de f em relação a y e depois em relação a
x:
2f
f
2
fyx
Dyx
f = fy
.
=
x
xy
x y

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

322 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz
A partir das derivadas de segunda ordem podemos definir as derivadas de
terceira ordem, e assim sucessivamente como é ilustrado no esquema seguinte.
2

fx2

f
x2

f
fx
x
fxy

2f
yx

3f
x3
3f

yx2

fx3
fx2 y

fxyx

3f
xyx

fxy 2

3f
y 2 x

fyx2

3f
x2 y

fyxy

3f
yxy

fy 2 x

3f
xy 2

f
2

fyx

f
xy

f
fy
y
2

fy 2

César Silva (UBI)

f
y 2

Cálculo II

fy 3

3f
y 3
2009/2010

323 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Sejam D um subconjunto de Rn , n > 1, e
f : D Rn Rm
uma função. Dados dois inteiros positivos i e j inferiores ou iguais a n,
f
supondo que existe
, representaremos por
xi
2f
xj xi

ou

f xi xj

f
em ordem a xj , caso exista, e
xi
chamar-lhe-emos derivada parcial de segunda ordem de f
primeiro em relação a xi e depois em relação a xj .
a derivada parcial de

De forma semelhante podemos definir as derivadas de ordem três, de
ordem quatro, etc.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

324 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Exemplos
a) Seja f : R2 R a função dada por f (x, y) = x4 + 3xy 2 + 4y 3 . Então
f
(x, y) = 4x3 + 3y 2
x

f
(x, y) = 6xy + 12y 2 .
y

e

Assim,
2f
(x, y) = 12x2
x2

2f
(x, y) = 6y,
yx

e

enquanto que
2f
(x, y) = 6y
xy

e

2f
(x, y) = 6x + 24y.
y 2

Este exemplo parece sugerir que as derivadas cruzadas (ou mistas)
2f
2f
e
são iguais.
yx xy
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

325 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Exemplos (continuação)
b) Seja f : R2 R a função definida por




x3 y
f (x, y) = x2 + y 2

0

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0).

Vamos calcular fxy (0, 0) e fyx (0, 0). Como
fxy (0, 0) = lim

k0

e

fx (0, k) - fx (0, 0)
k

fy (h, 0) - fy (0, 0)
,
h0
h

fyx (0, 0) = lim

temos de calcular fx (0, y) e fy (x, 0).
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

326 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Atendendo a que, para y = 0,
h3 y
-0
f (h, y)-f (0, y)
0
h2 y
h2 +y 2
fx (0, y) = lim
= lim
= lim 2 2 = 2 = 0
h0
h0
h0 h +y
h
h
y

e
h3 .0
-0
2
2
f (h, 0) - f (0, 0)
0
fx (0, 0) = lim
= lim h + 0
= lim = lim 0 = 0
h0
h0
h0 h
h0
h
h

temos
fx (0, y) = 0.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

327 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Por outro lado, para x = 0, tem-se
x3 k
-0
2
2
x3
x3
f (x, k)-f (x, 0)
=
=x
= lim x +k
= lim 2
fy (x, 0) = lim
k0
k0 x +k 2
k0
k
k
x2

e
03 .k
-0
2
2
f (0, k) - f (0, 0)
0
fy (0, 0) = lim
= lim 0 + k
= lim = lim 0 = 0
k0
k0
k0 k
k0
k
k

temos
fy (x, 0) = x.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

328 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Usando o facto de
fx (0, y) = 0

e

fy (x, 0) = x,

tem-se
fxy (0, 0) = lim

k0

fx (0, k) - fx (0, 0)
0-0
0
= lim
= lim = lim 0 = 0
k0
k0
k
k
k k0

e
fy (h, 0) - fy (0, 0)
h-0
h
= lim
= lim = lim 1 = 1,
h0
h0 h
h0
h0
h
h

fyx (0, 0) = lim

o que prova que as derivadas mistas (ou cruzadas) fxy e fyx podem
ser diferentes!

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

329 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para esta função f : R2 R que, recorde-se, é dada
por

3

x y
se (x, y) = (0, 0),
f (x, y) = x2 + y 2

0
se (x, y) = (0, 0),
se tem

fx (x, y) =
e

4
2 3

x y + 2x y



fy (x, y) =

César Silva (UBI)

(x2 + y 2 )2

0

5
3 2

x -x y

(x2 + y 2 )2


0

Cálculo II

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0).
2009/2010

330 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Além disso,
fxx (x, y) =


5
3 3
6xy - 2x y
(x2 + y 2 )3



fxy (x, y) =

0

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0),

6
4 2
2 4
x + 6x y - 3x y
(x2 + y 2 )3



0

fyx (x, y) =

6
4 2
2 4
x + 6x y - 3x y
(x2 + y 2 )3



1

fyy (x, y) =

César Silva (UBI)

3 3
5
2x y - 6x y
(x2 + y 2 )3



0

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0),

se (x, y) = (0, 0),
se (x, y) = (0, 0).

Cálculo II

2009/2010

331 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Acabámos de ver que as derivadas mistas podem não ser iguais. No
entanto, há casos em que é possível garantir à partida que as derivadas
mistas são iguais. O próximo teorema, conhecido como teorema de
Schwarz ou de Clairaut, dá-nos condições em que tal facto acontece.

Teorema de Schwarz
Sejam D um subconjunto aberto de Rn , n > 1, e f : D Rn R uma
função. As derivadas
f xi xj e f xj xi
são iguais em todos os pontos em que fxi e fxj sejam diferenciáveis.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

332 / 460

§3.4 Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz

Seja D um subconjunto aberto de Rn . Uma função f : D Rn R
diz-se de classe C k , k N, se existem todas as derivadas parciais de f
até à ordem k e todas essas derivadas são contínuas.

Corolário do Teorema de Schwarz
Seja D um subconjunto aberto de Rn . Se f : D Rn R é uma
função de classe C 2 , então
fxi xj (x) = fxj xi (x)
para qualquer x D.

Corolário do Teorema de Schwarz
Sejam D um subconjunto aberto de Rn e f : D Rn R uma função
de classe C k . Então é indiferente a ordem de derivação até à ordem k.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

333 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função composta
Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz
Teorema da função implícita
Extremos locais e extremos absolutos
Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

334 / 460

§3.5 Teorema da função implícita

Existem funções que não são definidas explicitamente, são apenas
definidas implicitamente. Por exemplo, a equação
(1 + x2 )y + sen x = 0
define implicitamente y como função de x, aliás podemos inclusive
definir explicitamente y como função de x pois a equação dada é
equivalente a
sen x
.
y=-
1 + x2
Será que a equação
(1 + x2 )y + sen(xy) = 0
também define y como função de x? Neste segundo caso não
conseguimos resolver a equação em ordem a y e, por conseguinte, não
podemos fazer o que fizemos no caso anterior.
O teorema da função implícita permite-nos responder a este tipo de
questões. Além disso, permite-nos também calcular a derivada da
função.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

335 / 460

§3.5 Teorema da função implícita

Teorema da função implícita (n = 2)
Sejam D um subconjunto aberto de R2 e
F : D R2 R

uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas.
Suponhamos que existe (a, b) D tal que

F
(a, b) = 0.
y
Então existem um aberto O R que contém a e uma e uma só função
F (a, b) = 0

e

f: O RR

com derivada contínua tal que

f (a) = b
e
F (x, f (x)) = 0 para qualquer x O.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

336 / 460

§3.5 Teorema da função implícita

Nas condições do teorema anterior diz-se que
F (x, y) = 0
define implicitamente y como função de x e usa-se a notação
y(x),

dy
dx

ou

y

f (x),

df
dx

ou

f,

em vez de
respectivamente.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

337 / 460

§3.5 Teorema da função implícita

Além disso, como
F (x, y(x)) = 0
temos pela derivada da função composta
F
F
dy
(x, y) +
(x, y)
=0
x
y
dx
pelo que
F
(x, y(x))
dy
.
(x) = - x
F
dx
(x, y(x))
y

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

338 / 460

§3.5 Teorema da função implícita
Exemplo
Consideremos a função F : R2 R definida por

F (x, y) = x3 + 2xy + y 4 - 4.

As derivadas parciais de F são

F
(x, y) = 3x2 + 2y
x

e

F
= 2x + 4y 3
y

Como as derivadas parciais de F são funções contínuas,
F
F (1, 1) = 0 e
(1, 1) = 2 · 1 + 4 · 13 = 6 = 0,
y
pelo teorema da função implícita F (x, y) = 0 define implicitamente y como
função de x num aberto O Rn ao qual 1 pertence e y(1) = 1. Além disso,
F
F
(1, y(1))
(1, 1)
5
dy
x
(1) = -
= - x
=- .
F
F
dx
6
(1, y(1))
(1, 1)
y
y
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

339 / 460

§3.5 Teorema da função implícita

Vamos agora generalizar o teorema da função implícita para funções
F : D Rn+1 R, n > 1.
Por uma questão de simplicidade de escrita vamos escrever
F (a1 , . . . , an , b)

e

F (x1 , . . . , xn , y)

F (a1 , . . . , an , an+1 )

e

F (x1 , . . . , xn , xn+1 ),

em vez de

respectivamente.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

340 / 460

§3.5 Teorema da função implícita

Teorema da função implícita
Sejam D um subconjunto aberto de Rn+1 e
F : D Rn+1 R

uma função com derivadas parciais de primeira ordem contínuas.
Suponhamos que existe (a1 , . . . , an , b) D tal que

F
(a1 , . . . , an , b) = 0.
y
Então existem um aberto O Rn que contém (a1 , . . . , an ) e uma e
uma só função
f : O Rn R
F (a1 , . . . , an , b) = 0

e

com derivadas parciais contínuas tal que

f (a1 , . . . , an ) = b
e
F (x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )) = 0 para qualquer (x1 , . . . , xn ) O.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

341 / 460

§3.5 Teorema da função implícita

Tal como no caso n + 1 = 2 dizemos que
F (x1 , . . . , xn , y) = 0
define implicitamente y como função de (x1 , . . . , xn ) e usamos a notação
y(x1 , . . . , xn )

e

y
,
xi

f (x1 , . . . , xn )

e

f
,
xi

em vez de
respectivamente.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

342 / 460

§3.5 Teorema da função implícita

Da equação
F (x1 , . . . , xn , y(x1 , . . . , xn )) = 0,
pela derivada da função composta tem-se
F
y
F
(x1 , . . . , xn , y(x1 , . . . , xn )) +
(x1 , . . . , xn ) = 0
(x1 , . . . , xn , y(x1 , . . . , xn ))
xi
y
xi

e, portanto,
F
(x1 , . . . , xn , y(x1 , . . . , xn ))
y
xi
.
(x1 , . . . , xn ) = -
F
xi
(x1 , . . . , xn , y(x1 , . . . , xn ))
y

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

343 / 460

§3.5 Teorema da função implícita
Exemplo
Vejamos que a equação
xyz sen(x + 2y - z) =
define implicitamente z como função de x e de y numa vizinhança do ponto
(/2, 1, 2). Para isso consideremos a função
F (x, y, z) = xyz sen(x + 2y - z) - .
Calculemos as derivadas parciais de F :
F
(x, y, z) = yz sen(x + 2y - z) + xyz cos(x + 2y - z),
x
F
(x, y, z) = xz sen(x + 2y - z) + 2xyz cos(x + 2y - z),
y
F
(x, y, z) = xy sen(x + 2y - z) - xyz cos(x + 2y - z).
z
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

344 / 460

§3.5 Teorema da função implícita
Exemplo (continuação)
Como as derivadas parciais de F são contínuas,


, 1, 2 = sen
+2·1-2 - =- =0
F
2
2
e


F
, 1, 2 = /2 sen
+ 2 · 1 - 2 - cos
+2·1-2
z 2
2
2
pelo teorema da função implícita, a equação F (x, y, z) = 0 define
implicitamente z como função de x e de y. Além disso,
F
, 1, 2
z
4
2
, 1 = - x 2
=-
=-
F

x 2
/2

, 1, 2
z 2
e
F
, 1, 2
z

y 2
,1 = -
= -2.
=-
F
y 2
/2
, 1, 2
z 2
César Silva (UBI)

Cálculo II

= /2,

2009/2010

345 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função composta
Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz
Teorema da função implícita
Extremos locais e extremos absolutos
Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

346 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Recordemos os conceitos de máximo e de mínimo absoluto.
Seja
f : D Rn R

uma função escalar e A um subconjunto não vazio de D. Dizemos que
f tem um máximo (absoluto) no ponto a A ou que f (a) é um
máximo (absoluto) de f em A se
f (x) f (a) para todo o x A.
Quando
f (x) f (a) para todo o x A,

dizemos que f tem um mínimo (absoluto) no ponto a A ou que
f (a) é um mínimo (absoluto) de f em A.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

347 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Recordemos também o Teorema de Weierstrass.

Teorema de Weierstrass
Seja
f : D Rn R

uma função contínua num subconjunto não vazio, fechado e limitado
A D. Então f tem máximo e mínimo em A.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

348 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Sejam D um subconjunto não vazio de Rn e
f : D Rn R
uma função escalar. Dizemos que f tem um máximo local no ponto
a D se existir > 0 tal que
f (x) f (a) para qualquer x D B (a)
e que f tem um mínimo local no ponto a D se existir > 0 tal que
f (x) f (a) para qualquer x D B (a).

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

349 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Um ponto do domínio de uma função em que é atingido um valor de
máximo designa-se por ponto de máximo ou ponto maximizante.
Do mesmo modo, um ponto do domínio de uma função em que é
atingido o valor de mínimo designa-se por ponto de mínimo ou
ponto minimizante.
Os máximos e os mínimos de uma função dizem-se extremos da
função e os pontos onde a função atinge os extremos designam-se por
pontos de extremo ou extremantes.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

350 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Teorema de Fermat
Seja
f : D Rn R

uma função diferenciável num ponto a interior a D. Se f (a) é um
extremo local de f , então
f
f
f
(a) =
(a) = · · · =
(a) = 0.
x1
x2
xn

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

351 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Os pontos a D tais que
f
f
f
(a) =
(a) = · · · =
(a) = 0
x1
x2
xn
designam-se por pontos de estacionaridade ou por pontos críticos.
Os pontos de estacionaridade que não são extremantes designam-se por
pontos de sela.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

352 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Assim, a primeira coisa que temos de fazer para determinar os
extremos locais de uma função
f : D Rn R
diferenciável é resolver o sistema

f


(a) = 0,


x1






f



x (a) = 0,
2















César Silva (UBI)

..
.

f
(a) = 0.
xn
Cálculo II

2009/2010

353 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Exemplo
Seja f : R2 R a função definida por

f (x, y) = x3 + 3x2 - y 2 .

Esta função é diferenciável em todo o seu domínio. Atendendo a que
f
(x, y) = 3x2 + 6x
x

e

f
(x, y) = -2y,
y

calculemos os seus pontos de estacionaridade:

f








=0
3x2 + 6x = 0

3x(x + 2) = 0
x = 0
x = -2
x









-2y = 0
f = 0
y = 0
y = 0
y = 0
y

Assim, os pontos de estacionaridade de f são (0, 0) e (-2, 0). Será que
algum deles é extremante?
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

354 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Exemplo (continuação)
Fazendo y =



3x em
f (x, y) = x3 + 3x2 - y 2 .

temos
e, como
e


f (x, 3x) = x3 + 3x2 - 3x2 = x3

f (x, 3x) > 0 se x > 0

f (x, 3x) < 0 se x < 0,

tendo em conta que f (0, 0) = 0, concluímos que (0, 0) não é
extremante, ou seja, é um ponto de sela.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

355 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Exemplo (continuação)
Por outro lado,
f (x, y) - f (-2, 0) = x3 + 3x2 - y 2 - 4

= x3 + 2x2 + x2 - 4 - y 2

= x2 (x + 2) + (x - 2)(x + 2) - y 2

= (x2 + x - 2)(x + 2) - y 2

= (x - 1)(x + 2)(x + 2) - y 2

= (x - 1)(x + 2)2 - y 2
e, como

(x - 1)(x + 2)2 - y 2 0 para qualquer x B1 ((-2, 0)),
o ponto (-2, 0) é um ponto de máximo.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

356 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

A forma como no exemplo anterior verificámos que (0, 0) não era
extremante e que (-2, 0) era um maximizante não é muito prática.
Vejamos uma forma mais prática de o fazer. Para isso precisamos da
matriz hessiana. Dada uma função f : D Rn R de classe C 2
chama-se matriz hessiana de f num ponto a D à matriz


2f
2f
(a)
(a)

x1 x2
x1 x1



2f
···
(a)
x1 xn



2f
2f


(a)
(a) · · ·
x2 x1
x2 x2
Hf (a) =

..
..

..

.
.
.



2f
2f




2f

(a)

x1 xn
.

..


.





2f
(a)
(a) · · ·
(a)
xn x1
xn x2
xn xn

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

357 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Suponhamos que a é um ponto de estacionaridade de f e por facilidade
de escrita representemos a matriz hessiana de f no ponto a por


a1,1 a1,2 · · · a1,n







a2,1 a2,2 · · · a2,n


Hf (a) = .
.. . .
..
.

.
.
.
.



an,1 an,2 · · · an,n

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

358 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Façamos
0 = 1
1 = a1,1
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2

2 = det


a1,1
3 = det a2,1
a3,1
..
.

a1,1
a2,1

n = det .
..

a1,2
a2,2
a3,2
a1,2
a2,2
..
.

an,1 an,2

a1,1 a1,2
a2,1 a2,2

a1,1 a1,2 a1,3
a1,3
a2,3 = a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
a3,3
=


· · · a1,n
a1,1 a1,2
· · · a2,n
a2,1 a2,2

.. =
..
..
..
. .
.
.
· · · an,n
an,1 an,2

· · · a1,n
· · · a2,n
.
..
. ..
· · · an,n

= det Hf (a).

Os i , i = 1, . . . , n, chamam-se menores principais da matriz Hf (a).
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

359 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Então
a) se em
0 = 1, 1 , 2 , . . . , n
só houver permanências de sinal, ou seja, todos os i , i = 1, . . . , n,
são positivos, então f (a) é um mínimo local de f ;
b) se em
0 = 1, 1 , 2 , . . . , n
só houver variações de sinal, ou seja, (-1)i i > 0, i = 1, . . . , n,
então f (a) é um máximo local de f ;
c) se em
0 = 1, 1 , 2 , . . . , n
houver permanências de sinal e variações de sinal, então a é um
ponto de sela.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

360 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplos
a) Voltando ao exemplo inicial da função definida por

já vimos que

f (x, y) = x3 + 3x2 - y 2

f
f
(x, y) = 3x2 + 6x e
(x, y) = -2y
x
y
e que os pontos de estacionaridade são (0, 0) e (-2, 0) pois

f







=0
3x2 + 6x = 0

3x(x + 2) = 0
x = 0
x = -2
x




.





-2y = 0
f = 0
y = 0
y = 0
y=0
y

Além disso, a matriz hessiana de f é
Hf (x, y) =
César Silva (UBI)

6x + 6

0

0

-2

Cálculo II

.
2009/2010

361 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Exemplos (continuação)
a) (continuação) Assim,
Hf (0, 0) =
e, como
0 = 1, 1 = 6

6

0

0 -2
e

2 = -12,

o ponto (0, 0) é um ponto de sela. Por outro lado
Hf (-2, 0) =

0

-6
0

-2

e atendendo a que
0 = 1, 1 = -6

e

2 = 12

o ponto (-2, 0) é um ponto de máximo local.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

362 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Exemplos (continuação)
b) Seja f : R3 R a função dada por

f (x, y, z) = x2 + y 2 + 3z 2 + yz + 2xz - xy.

Os pontos de estacionaridade de f são dados por



f





2x - y + 2z = 0
2x + 2z - y = 0
=0






x





f


= 0 2y + z - x = 0
-x + 2y + z = 0
y











f = 0






2x + y + 6z = 0
6z + y + 2x = 0
z

e a matriz hessiana é




x=0





y=0






z = 0




2 -1 2
Hf (x, y, z) = - 1 2 1 .
2 1 6
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

363 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para esta matriz hessiana


2 -1 2
Hf (0, 0, 0) = -1 2 1 ,
2 1 6
temos

0 = 1, 1 = 2, 2 =

2 -1 2
2 -1
= 3, 3 = -1 2 1 = 4,
-1 2
2 1 6

pelo que f tem um mínimo local no ponto (0, 0, 0).

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

364 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos
Observações
a) Se f (a) é um mínimo local de f , então
1 0, 2 0, . . . , n 0.

b) Se f (a) é um máximo local de f , então

1 0, 2 0, . . . , (-1)n n 0.

c) O recíproco das duas alíneas anteriores é falso.
d) Outro processo de determinar se um ponto de estacionaridade é
extremante utiliza os valores próprios da matriz hessiana.
i) Se os valores próprios da matriz hessiana são todos positivos, então
temos um ponto de mínimo.
ii) Se os valores próprios da matriz hessiana são todos negativos, então
temos um ponto de máximo.
iii) Se a matriz hessiana tiver valores próprios positivos e valores próprios
negativos, então temos um ponto de sela.
iv) Se a matriz hessiana tiver valores próprios nulos, e os valores próprios
não nulos tiverem todos o mesmo sinal nada se pode concluir.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

365 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos

Exemplo
Calculemos os pontos de estacionaridade da função dada por
f (x, y) = x2 y - y.
Para isso temos de resolver o sistema

f


=0
2xy = 0

x



x2 - 1 = 0
f = 0
y





y = 0


x = 1





y = 0

.


x = -1

Assim, os pontos de estacionaridade de f são (1, 0) e (-1, 0). A matriz
hessiana de f é
2y 2x
Hf (x, y) =
.
2x 0

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

366 / 460

§3.6 Extremos locais e extremos absolutos
Exemplo (continuação)
Assim,
Hf (1, 0) =

0 2
2 0

e, portanto,
0 = 1, 1 = 0

e

2 = -4.

Pelas alíneas a) e b) das observações concluímos que (1, 0) é um ponto de sela.
Por outro lado,
0 -2
Hf (-1, 0) =
-2 0
e para este caso também temos

0 = 1, 1 = 0

e 2 = -4

o que permite concluir do mesmo modo que (-1, 0) é um ponto de sela.
Podíamos ter chegado à mesma conclusão verificando que os valores próprios
de ambas as matrizes são -2 e 2.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

367 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn
Derivadas parciais e derivadas direccionais
Diferenciabilidade de funções de Rn em Rm
Derivada da função composta
Derivadas de ordem superior. Teorema de Schwarz
Teorema da função implícita
Extremos locais e extremos absolutos
Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

368 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Suponhamos que pretendemos determinar quais as dimensões do
rectângulo de perímetro igual a 2 que tem a área máxima. Designemos
comprimentos dos lados do rectângulo por x e y,

x

y

O que pretendemos é determinar o valor máximo da função
A(x, y) = xy
no conjunto dos pontos (x, y) (ambos não negativos) que verificam
2x + 2y = 2,
ou seja

César Silva (UBI)

x + y = 1.
Cálculo II

2009/2010

369 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Como x + y = 1 é equivalente a y = 1 - x, obtemos para os pontos que
verificam esta condição A(x, y) = A(x, 1 - x) = x(1 - x). Basta
portanto determinar o valor de x [0, 2] que maximiza a função
A(x, 1 - x). Como
A (x, 1 - x) = 0



[x(1 - x)] = 0



1 - 2x = 0



1
x= ,
2

podemos construir o seguinte quadro
0
1/2
A (x, 1 - x) + +
0
A(x, 1 - x)
max

2
- -

Concluímos que x = 1/2 corresponde a um ponto de máximo da função
cuja segunda coordenada é y = 1 - 1/2 = 1/2. O tal rectângulo é um
quadrado de lado 1/2.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

370 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Na resolução anterior foi fundamental conseguirmos resolver a equação
x+y =1
em ordem a y. Como fazer se tal não for possível? A resposta é dada
pelo método dos multiplicadores de Lagrange. Vejamos um
exemplo.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

371 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplo
Pretendemos determinar os extremos absolutos da função
sujeita à condição

f (x, y) = x2 + y
x2 + y 2 = 1.

Para isso consideramos uma nova função
L(x, y, ) = x2 + y + (x2 + y 2 - 1),

e calculamos os seus pontos de estacionaridade:


L


x (x, y, ) = 0
2x + 2x = 0
L


1 + 2y = 0
y (x, y, ) = 0


L
2
2
x +y -1=0
(x, y, ) = 0






x = 0
= -1
x = 0


----­ y = 1/2
= -1/2



2
2

y =1
x = 3/4
y = ±1
César Silva (UBI)

Cálculo II



2x(1 + ) = 0
----­


----­


= -1
y = 1/2



x = ± 3/2
2009/2010

372 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplo (continuação)
Os candidatos a extremo absoluto são


(0, 1), (0, -1), ( 3/2, 1/2) e (- 3/2, 1/2).
Como sabemos que o conjunto
C = (x, y) R2 : x2 + y 2 = 1
é compacto e a função
f (x, y) = x2 + y
é contínua, o Teorema de Weierstrass garante-nos que temos um máximo e
um mínimo absoluto de f em C. Como


f (0, 1) = 1, f (0, -1) = -1 e f (- 3/2, 1/2) = f ( 3/2, 1/2) = 5/4,
concluímos que o máximo absoluto é 5/4 e o mínimo absoluto é -1.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

373 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Vamos agora descrever o método geral para determinar os pontos
candidatos a extremo. Dada uma função de classe C 1 ,
f : D Rn R,

para determinar os extremos desta função sujeita às m n condições
1 (x1 , . . . , xn ) = 0, . . . , m (x1 , . . . , xn ) = 0,
com 1 , . . . , m funções de classe C 1 , consideramos a função
L(x1 , . . . , xn , 1 , . . . , n )

= f (x1 , . . . , xn ) + 1 1 (x1 , . . . , xn ) + · · · + m m (x1 , . . . , xn ).

Determinamos os pontos de estacionaridade desta nova função. Entre
estes pontos encontram-se pontos tais que as primeiras n coordenadas
correspondem às coordenadas dos pontos de extremo da função f .
Os i que surgem na função L designam-se por multiplicadores de
Lagrange.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

374 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Exemplos
a) Pretendemos determinar, utilizando os multiplicadores de
Lagrange, os extremos absolutos da função
f (x, y, z) = x + 2y
sujeita às restrições
x + y + z = 1 e y 2 + z 2 = 4.
Como o conjunto
(x, y, z) R3 : x + y + z = 1 y 2 + z 2 = 4

é um conjunto limitado e fechado e a função f é contínua, pelo
Teorema de Weierstrass, f tem máximo e mínimo absolutos neste
conjunto.
Vamos determiná-los usando o método dos multiplicadores de
Lagrange. Escrevemos a nova função
L(x, y, z, , µ) = x + 2y + (x + y + z - 1) + µ(y 2 + z 2 - 4).
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

375 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Exemplos (continuação)
a) (continuação) Temos
L

(x, y, z, , µ) = 0

x


L

y (x, y, z, , µ) = 0

L

(x, y, z, , µ) = 0

z



L


(x, y, z, , µ) = 0

L
µ (x, y, z, , µ)

=0



César Silva (UBI)





1+ = 0





2 + + 2µy = 0


+ 2µz = 0





x+y+z =1



2
2



y +z =4



= -1







µ = - 2/4


z=- 2




x=1





y= 2



Cálculo II



=1







µ = 2/4


z= 2




x=1





y=- 2



= -1





2µy = -1










2µz = 1

2009/2010

376 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Exemplos (continuação)
a) (continuação) Obtivemos dois candidatos a ponto de extremo:



(1, 2, - 2) e (1, - 2, 2).
Uma vez que
f (1,
e





2, - 2) = 1 + 2 2



f (1, - 2, 2) = 1 - 2 2,


concluímos que 1 + 2 2 é máximo absoluto e que 1 + 2 2 é mínimo
absoluto.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

377 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos (continuação)
b) Pretendemos determinar os extremos absolutos da função
no conjunto

f (x, y, z) = x2 + 2xy - 4x + 8y
C = {(x, y) : 0 x 1 0 y 2} .

Como o conjunto C é um conjunto limitado e fechado e a função f é
contínua, pelo Teorema de Weierstrass f tem máximo e mínimo absolutos
neste conjunto. Os extremos absolutos podem estar no interior ou na
fronteira de C.
Começamos por determinar todos os extremos locais de f no interior do
conjunto C. Para tal começamos por determinar os pontos de
estacionaridade de f que estão em C:
f
x (x, y)
f
y (x, y)

=0
=0



2x + 2y - 4 = 0
2x + 8 = 0



y=6
x = -4

.

Como o ponto (-4, 6) não está no interior de C concluímos que não há
extremos no interior de C.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

378 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange
Exemplos (continuação)
b) (continuação) Vamos agora determinar os pontos de estacionaridade na
fronteira recorrendo ao método dos multiplicadores de Lagrange.
Para o segmento de recta

escrevemos a função

S1 = {(x, y) : y = 0 0 x 1}

L1 (x, y, ) = x2 + 2xy - 4x + 8y + y.

Temos

L1

x (x, y, ) = 0
L1
y (x, y, ) = 0

L1
(x, y, ) = 0



2x + 2y - 4 = 0

2x + 8 + = 0


y=0



x = 2

y=0


= -12

.

Obtivemos o ponto (2, 0) no entanto (2, 0)
/ S1 pelo que não o devemos
considerar.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

379 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para o segmento de recta
S2 = {(x, y) : y = 2 0 x 1}
escrevemos a função
L2 (x, y, ) = x2 + 2xy - 4x + 8y + (y - 2).
Temos

L2


x (x, y, ) = 0
L2

(x, y, ) = 0

y


L2 (x, y, ) = 0







2x + 2y - 4 = 0

2x + 8 + = 0



y - 2 = 0






x = 0

= -8

.



y = 2

Obtivemos o ponto (0, 2) no entanto (0, 2)
/ S2 pelo que não o
devemos considerar.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

380 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para o segmento de recta
S3 = {(x, y) : x = 0 0 y 2}
escrevemos a função
L3 (x, y, ) = x2 + 2xy - 4x + 8y + x.
Temos

L3


x (x, y, ) = 0
L3

(x, y, ) = 0

y


L3 (x, y, ) = 0







2x + 2y - 4 + = 0

2x + 8 = 0



x = 0






x = -4

x=0

.



= -12

O sistema é impossível pelo que não obtemos candidatos a extremo
neste caso.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

381 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Para o segmento de recta
S4 = {(x, y) : x = 1 0 y 2}
escrevemos a função
L4 (x, y, ) = x2 + 2xy - 4x + 8y + (x - 1).
Temos

L4


x (x, y, ) = 0
L4

(x, y, ) = 0

y


L4 (x, y, ) = 0







2x + 2y - 4 + = 0

2x + 8 = 0



x - 1 = 0






x = -4

x=1

.



= -12

O sistema é impossível pelo que não obtemos candidatos a extremo
neste caso.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

382 / 460

§3.7 Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Assim, temos apenas como candidatos as extremo os
pontos de intersecção de cada par de segmentos, isto é os vértices
do rectângulo C:
(0, 2), (0, 0), (1, 0) e (1, 2).
Como referimos, de acordo com o Teorema de Weierstrass, entre as
imagens destes quatro pontos estão os extremos absolutos de f em
C.
Atendendo a que
f (0, 2) = 16, f (0, 0) = 0, f (1, 0) = -3 e f (1, 2) = 17,
concluímos que o máximo absoluto é 17 e o mínimo absoluto é -3.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

383 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn
Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades
Teorema de Fubini
Integração em regiões mais gerais
Mudança de coordenadas
Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

384 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn
Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades
Teorema de Fubini
Integração em regiões mais gerais
Mudança de coordenadas
Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

385 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Para definirmos o conceito de integral é necessário explorar primeiro o
conceito de partição de um intervalo fechado e limitado de Rn .
Dados a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ) Rn , com ai < bi , i = 1, . . . , n,
designamos os conjuntos da forma
[a, b] = {(x1 , . . . , xn ) Rn : ai xi bi , i = 1, . . . , n}
= [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ]

por intervalo fechado e limitado de Rn .
É fácil de verificar que quando n = 1, os intervalos fechados e limitados
coincidem com os habituais intervalos fechados e limitados de R;
quando n = 2 os intervalos fechados e limitados são rectângulos e
quando n = 3 os intervalos fechados e limitados são paralelepípedos
rectângulos.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

386 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Dado um intervalo (fechado e limitado) I = [a, b] de Rn , com
a = (a1 , . . . , an ) e b = (b1 , . . . , bn ), definimos o volume elementar de
I, que denotamos por vol(I), por
n

vol(I) =

(bi - ai ).

i=1

Verifica-se imediatamente que quando n = 1 o volume elementar é o
comprimento do intervalo, para n = 2 o volume elementar é a área do
rectângulo e que quando n = 3 o volume elementar é o volume usual do
paralelepípedo.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

387 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Dado um intervalo fechado e limitado I de Rn , designa-se por
partição ou subdivisão de I qualquer colecção
P = {I1 , . . . , Ik } ,
onde os Ij são intervalos fechados e limitados de Rn não sobrepostos
(i.e. sem pontos interiores comuns) e cuja reunião é I, ou seja,
int Ii int Ij = para i, j = 1, . . . , n e i = j
e

k

I=

Ii .
i=1

É evidente que nestas condições se tem
k

vol(I) =

vol(Ii ).
i=1

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

388 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Exemplo
O conjunto
P = {I1 , I2 , I3 , I4 , I5 }
onde I1 = 0, 14 × 0, 31 , I2 = 0, 14 ×
1
4, 1

1
3

× 0,
e I5 =
I4 =
intervalo [0, 1] × [0, 1].

1
4, 1

×

1
3, 1

1 2
3, 3

, I3 = 0, 14 ×

2
3, 1

,

constitui uma partição do

1
I3
I5
I2

I1

I4

0
César Silva (UBI)

1
Cálculo II

2009/2010

389 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Sejam I um intervalo (fechado e limitado) de Rn , P = {I1 , . . . , Ik } uma
partição de I e f : I Rn R uma função limitada. Chama-se soma
superior de Darboux relativa à partição P ao número real
k

S(f, P ) =

M (f, Ii ) vol(Ii ),
i=1

onde
M (f, Ii ) = sup {f (x) : x Ii } = sup f (x).
xIi

Analogamente, chama-se soma inferior de Darboux relativa à
partição P ao número real
k

s(f, P ) =

m(f, Ii ) vol(Ii ),
i=1

onde
m(f, Ii ) = inf {f (x) : x Ii } = inf f (x).
xIi

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

390 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

y
m7
m3
m2 =m4 =m8
m6
m5

m1

a

x0

x1

x2

x3 x4

x5

x6

x7

b

x8

x

Interpretação geométrica das somas inferiores de Darboux para funções
f: I R R
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

391 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

y

a

x0

x1

x2

x3 x4

x5

x6

x7

b

x8

x

Interpretação geométrica das somas superiores de Darboux para
funções f : I R R
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

392 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

M (f, B)

M (f, B)

m(f, B)

m(f, B)

B

B

Interpretação geométrica das somas inferiores e das somas superiores
de Darboux para funções f : I R2 R

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

393 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Exemplos de somas superiores e de somas inferiores
a) Seja I um intervalo de Rn e consideremos a função
f : I Rn R
definida por

f (x) = c.
Dada uma partição P = {I1 , . . . , Ik } de I temos
m(f, Ii ) = c

e

M (f, Ii ) = c

e, consequentemente,
k

k

k

i=1

i=1

i=1

vol(Ii ) = c vol(I)

c vol(Ii ) = c

m(f, Ii ) vol(Ii ) =

s(f, P ) =

e

César Silva (UBI)

vol(Ii ) = c vol(I).

c vol(Ii ) = c

M (f, Ii ) vol(Ii ) =
i=1

k

k

k

S(f, P ) =

i=1
Cálculo II

i=1
2009/2010

394 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Exemplos de somas superiores e de somas inferiores (continuação)
b) Sejam I um intervalo de Rn e
f : I Rn R
a função definida por
f (x) =

0
1

se x I Qn ,
se x I Qn .

Para qualquer partição P = {I1 , . . . Ik } de I temos
m(f, Ii ) = 0

pelo que

e

M (f, Ii ) = 1,

k

s(f, P ) =

k

m(f, Ii ) vol(Ii ) =
i=1

e

k

S(f, P ) =

k

M (f, Ii ) vol(Ii ) =
i=1

César Silva (UBI)

0 vol(Ii ) = 0
i=1

1 vol(Ii ) = vol(I).
i=1

Cálculo II

2009/2010

395 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Seja I um intervalo fechado e limitado de Rn . Uma função
f : I Rn R
diz-se integrável à Riemann em I se existir um e um só número A
tal que
s(f, P ) A S(f, P ) para qualquer partição P de I.
O único número A que verifica a desigualdade anterior designa-se por
integral de Riemann de f em I e representa-se por
f (x) dx.
I

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

396 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Exemplos do integral de Riemann
a) Consideremos novamente a função f : I Rn R definida por
f (x) = c.

Já vimos que para qualquer partição P de I tem-se
s(f, P ) = c vol(I) = S(f, P ).
Assim,
s(f, P ) c vol(I) S(f, P ) para qualquer partição P de I

e

c vol(I)
é o único número real que verifica as estas desigualdades. Logo f é
integrável à Riemann em I e
f (x) dx = c vol(I).
I
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

397 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Exemplos do integral de Riemann (continuação)
b) Já vimos que para a função f : I Rn R, definida por
f (x) =

se x I Qn ,
se x I Qn

0
1

se tem
s(f, P ) = 0

e

S(f, P ) = vol(I)

qualquer que seja a partição P de I. Portanto, se A [0, vol(I)]
tem-se
0 = s(f, P ) A S(f, P ) = vol(I)

para qualquer partição P de I, o que mostra que f não é integrável
à Riemann em [0, 1].

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

398 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

É também comum escrever
I

f (x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn

para designar o integral de Riemann de f no intervalo fechado I. É
ainda usual escrever
bn
an

···

b1
a1

f (x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn

para designar

[a1 ,b1 ]×···×[an ,bn ]

César Silva (UBI)

f (x1 , . . . , xn ) dx1 · · · dxn .

Cálculo II

2009/2010

399 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Em dimensão dois é usual escrever f (x, y) em vez de f (x1 , x2 ) e
denota-se assim o integral de Riemann em I por
f (x, y) dx dy.
I

Analogamente em dimensão três usa-se frequentemente a notação
f (x, y, z) dx dy dz.
I

Facilmente se verifica que, no caso n = 1, o conceito de integral aqui
apresentado coincide com o conceito de integral de Riemann definido
em Cálculo I.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

400 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Propriedades dos integrais
Seja I um intervalo fechado e limitado de Rn .
a) Se
f, g : I Rn R

são funções integráveis em I, então f + g é integrável em I e
[f (x) + g(x)] dx =
I

f (x) dx +
I

g(x) dx.
I

b) Se é um número real e
f : I Rn R
é uma função integrável em I, então f é integrável em I e
f (x) dx =
I
César Silva (UBI)

f (x) dx.
I

Cálculo II

2009/2010

401 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Propriedades dos integrais (continuação)
c) Sejam I1 e I2 dois intervalos (fechados e limitados) de Rn não
sobrepostos e tais que
I = I1 I2
e seja

f : I Rn R.

Então

f é integrável em I
se e só se
é integrável em I1 e em I2 .
Além disso, nas condições anteriores, temos
f (x) dx =
I
César Silva (UBI)

f (x) dx +
I1
Cálculo II

f (x) dx.
I2
2009/2010

402 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Propriedades dos integrais (continuação)
d) Se
f, g : I Rn R

são duas funções integráveis em I tais que

f (x) g(x) para cada x I,
então
I

César Silva (UBI)

f (x) dx

Cálculo II

g(x) dx.
I

2009/2010

403 / 460

§4.1 Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades

Propriedades dos integrais (continuação)
e) Seja
f : I Rn R

uma função integrável. Então |f | é integrável em I e
I

f (x) dx

I

|f (x)| dx.

f ) Se
f : I Rn R

é uma função contínua, excepto num número finito de pontos, então
f é integrável. Em particular, as funções contínuas são integráveis.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

404 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn
Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades
Teorema de Fubini
Integração em regiões mais gerais
Mudança de coordenadas
Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

405 / 460

§4.2 Teorema de Fubini

Teorema de Fubini
Sejam I um intervalo fechado e limitado de Rn , J um intervalo fechado
e limitado de Rm e
f : I × J Rn × Rm R
uma função limitada e integrável. Se f é integrável (como função de x)
em I para qualquer y J, então
f (x, y) dx dy.

f (x, y) dx dy =
I×J

César Silva (UBI)

J

Cálculo II

I

2009/2010

406 / 460

§4.2 Teorema de Fubini

Teorema de Fubini para funções contínuas
Sejam I um intervalo fechado e limitado de Rn , J um intervalo fechado
e limitado de Rm e
f : I × J Rn × Rm R
uma função contínua e, consequentemente, integrável à Riemann em
I × J. Então
a) f é integrável (como função de x) em I para qualquer y J;
b) a função

g(y) =

f (x, y) dx
I

é integrável em I e
f (x, y) dx dy =
I×J
César Silva (UBI)

f (x, y) dx dy.
J

Cálculo II

I
2009/2010

407 / 460

§4.2 Teorema de Fubini

Exemplos
xy 2 dx dy. Então

a) Calculemos o integral
[0,1]×[2,3]

3

=
2

3

=
2

=

xy 2 dx dy

0

2

[0,1]×[2,3]

1

3

xy 2 dx dy =

y3
6

x2 y 2
2

x=1

dy
x=0

y2
- 0 dy
2
y=3
y=2

19
27 8
- = .
=
6
6
6
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

408 / 460

§4.2 Teorema de Fubini

Exemplos (continuação)
a) (continuação) Este integral também pode ser calculado da seguinte
forma:
1

xy 2 dx dy =
[0,1]×[2,3]

0
1
0

xy 3
3

y=3

dx
y=2

1

27x 8x
-
dx
3
3

1

19x
dx
3

=
0

0

xy 2 dy dx

2

=

=

3

x=1

19x2
6 x=0
19
19
=
-0=
.
6
6

=

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

409 / 460

§4.2 Teorema de Fubini

Exemplos (continuação)
xy 2 z dx dy dz:

b) Calculemos
[0,1]×[0,2]×[1,3]

2

3

=

0

1

2

3

=

0

1

xy 2 z dx dy dz

0

0

1

[0,1]×[0,2]×[1,3]

1

2

3

xy 2 z dx dy dz =

x2 y 2 z
2
y2z
2

x=1

dy dz
x=0

1

César Silva (UBI)

Cálculo II

y3 z
6

y=2

dz
y=0

z=3
8z 2

8z
dz =
12
1 6
8
16
72
-
=
=
12 12
3
=

3

3

dy dz =

z=1

2009/2010

410 / 460

§4.2 Teorema de Fubini

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Outro processo seria

0

1

[0,1]×[0,2]×[1,3]

1

2

3

xy 2 z dx dy dz =

0

3

=

2

z dz
1

=

z2
2

z=3
z=1

César Silva (UBI)

Cálculo II

1

y 2 dy

0

9 1
-
2 2
16
=
3
=

xy 2 z dx dy dz
x dx
0

y3
3

y=2
y=0

x2
2

x=1
x=0

81
32

2009/2010

411 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn
Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades
Teorema de Fubini
Integração em regiões mais gerais
Mudança de coordenadas
Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

412 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Seja
f : D Rn R

uma função limitada definida num subconjunto limitado D Rn .
Sejam I um intervalo de Rn fechado e limitado tal que D está contido
no interior de I e
f~: I Rn R
a função dada por

f~(x) =

f (x)
0

se x D
se x I \ D

Dizemos que f é integrável em D se f~ for integrável em I e definimos o
integral de f em D por
f~(x) dx.

f (x) dx =
D
César Silva (UBI)

I
Cálculo II

2009/2010

413 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Verifica-se facilmente que a escolha do intervalo I não influencia a
definição anterior, nem o valor
f (x) dx.
D

As propriedades que vimos para integrais de funções definidas em
intervalos também se verificam para este tipo de integrais. Veremos em
seguida essas propriedades.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

414 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Propriedades dos integrais
Seja D um subconjunto limitado de Rn .
a) Se
f, g : D Rn R

são funções integráveis em D, então f + g é integrável em D e
[f (x) + g(x)] dx =
D

f (x) dx +
D

g(x) dx.
D

b) Se é um número real e
f : D Rn R
é uma função integrável em D, então f é integrável em D e
f (x) dx =
D
César Silva (UBI)

f (x) dx.
D

Cálculo II

2009/2010

415 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Propriedades dos integrais (continuação)
c) Sejam D1 e D2 dois subconjuntos limitados de Rn tais que
int (D1 D2 ) =

e

D = D1 D2

e seja
f : D Rn R.

Se

f é integrável em D1 , em D2 e em D,
então
f (x) dx =
D

César Silva (UBI)

f (x) dx +
D1

Cálculo II

f (x) dx.
D2

2009/2010

416 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Propriedades dos integrais (continuação)
d) Se
f, g : D Rn R

são duas funções integráveis em D tais que

f (x) g(x) para cada x D,
então
D

César Silva (UBI)

f (x) dx

Cálculo II

g(x) dx.
D

2009/2010

417 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Propriedades dos integrais (continuação)
e) Seja
f : D Rn R

uma função integrável. Então

|f | é integrável em D
e
D

César Silva (UBI)

f (x) dx

Cálculo II

D

|f (x)| dx.

2009/2010

418 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais
Seja D um subconjunto limitado de R2 da forma
D = (x, y) R2 : a x b 1 (x) y 2 (x) ,
onde
1 , 2 : [a, b] R R

são funções limitadas em [a, b].
y

y = 2 (x)

D

y = 1 (x)

a
César Silva (UBI)

b
Cálculo II

x
2009/2010

419 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Se
f : D R2 R

é uma função limitada e integrável em

D = (x, y) R2 : a x b 1 (x) y 2 (x) ,

recorrendo ao teorema de Fubini, temos
f (x, y) dx dy =
D

b
a

2 (x)

f (x, y) dy

dx,

1 (x)

desde que a função f (x, y) seja (como função de y) integrável em
[1 (x), 2 (x)] para qualquer x [a, b]. Este integral também se
costuma representar por
f (x, y) dA.
D

É de referir que se as funções 1 , 2 e f são contínuas, excepto num
número finito de pontos, então f é integrável em D.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

420 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Analogamente, se D é um subconjunto limitado de Rn da forma
D = (x, y) R2 : 1 (y) x 2 (y) c y d ,
onde
1 , 2 : [c, d] R R,

tem-se

d

f (x, y) dx dy =
D

César Silva (UBI)

c

2 (y)

f (x, y) dx

dy.

1 (y)

Cálculo II

2009/2010

421 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Exemplos
a) Seja D R2 o conjunto dos pontos de [0, 1] × [0, 1] que estão entre
a parábola de equação y = x2 e a recta de equação y = x.
y = x2

y

y=x

1

1

x

Calculemos
xy 2 dA.
D
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

422 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Exemplos (continuação)
a) (continuação) Então
1

xy 2 dA =
D

1
0

=
=
=
César Silva (UBI)

x2

0

=

x

1

xy 2 dy dx =
0

x · x3 x(x2 )3
-
dx =
3
3

x5 x8
-
15 24

x=1

=
x=0

xy 3
3
1
0

y=x

dx
y=x2

x4 x7
-
dx
3
3

1
1
-
- (0 - 0)
15 24

24 - 15
9
=
15 · 24
15 · 24
1
1
= .
5·8
40

Cálculo II

2009/2010

423 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Exemplos (continuação)
a) (continuação) Este integral também podia ter sido calculado da
seguinte forma:
xy 2 dA =
D



1

1
0

1

xy 2 dx dy =

y

0

=

y

x2 y 2
2

0


( y)2 y 2 y 2 y 2
-
dy =
2
2

1
0


x= y

dy
x=y

y3 y4
-
dy
2
2

y=1

1
1
y5
y4
- (0 - 0)
= -
-
8 10
8
10 y=0
4
1
5
-
= .
=
40 40
40
=

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

424 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Exemplos (continuação)
b) A função f : R2 R dada por
f (x, y) = xy 3
é contínua em R2 e o conjunto
D = (x, y) R2 : x 0 y 0 x -4y 2 + 3
também pode ser também definido por

3
2
0 x -4y 2 + 3 .
D = (x, y) R : 0 y
2
Logo f é integrável em D.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

425 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Assim,



3
2

f (x, y) dx dy =
0

D

3-4y 2
0



3
2

=

1 2 3
x y
2

0


3
2

=
0



3
2

=
0

xy 3 dx dy
x=3-4y 2

dy
x=0

9
- 12y 2 + 8y 4 y 3 dy
2
9 3
y - 12y 5 + 8y 7 dy
2

9 4
y - 2y 6 + y 8
8
27
=
.
256

=

César Silva (UBI)

Cálculo II


3
2

0

2009/2010

426 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Exemplos (continuação)
b) (continuação) Também podíamos ter definido D da seguinte forma
D=

(x, y) R2 : 0 x 3 0 y

3-x
4

e, portanto,
f (x, y) dy dx =

3

=
0

=

César Silva (UBI)

3

xy 3 dy dx =
0

0

0

D

3-x
4

3

x
4

9x2
128

2

3-x
4
-

x3
32

+

3

dx =
0

x4
256

Cálculo II

x=3

=
x=0

xy 4
4

y=

3-x
4

dx

y=0
3x2

9x
x3
-
+
dx
64
32
64
27
.
256
2009/2010

427 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Situações semelhantes às anteriores ocorrem noutras dimensões. Em
particular, em R3 , por exemplo numa região da forma
D = (x, y, z) R3 : a x b 1 (x) y 2 (x) 1 (x, y) z 2 (x, y) ,

onde
1 , 2 : [a, b] R

e

1 , 2 : {(x, y) R2 : a x b 1 (x) y 2 (x)} R

são funções limitadas. Temos nesse caso
f (x, y, z) dx dy dz =
D

b
a

2 (x)
1 (x)

2 (x,y)

f (x, y, z) dz

dy

dx

1 (x,y)

desde que os integrais interiores existam.
Podemos estabelecer resultados semelhantes para regiões como a acima
onde os papeis das variáveis "estejam trocados".
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

428 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Exemplo
A função f : R3 R dada por f (x, y, z) = xy é contínua em R3 e, portanto, é
integrável na região
D = (x, y, z) R3 : 0 y 1 0 x y 0 z x + 2y .
Além disso,
1

y

x+2y

f (x, y, z) dx dy dz =
D
1

y

=

xyz
0

0
1

y

=
0

z=x+2y
z=0

1
0

César Silva (UBI)

y4
+ y 4 dy =
3

0

0
1

y

xy(x + 2y) dx dy

dx dy =
0

x2 y + 2xy 2 dx dy =

0

=

xy dz dx dy
0

1

0
5 y=1

y
y5
+
15
5

Cálculo II

y=0

0

x3 y
+ x2 y 2
3
=

x=y

dy
x=0

4
15
2009/2010

429 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Situações semelhantes podem ser resolvidas de forma correspondente
em Rn , n 4.
Muitas vezes queremos calcular integrais em regiões que se podem
decompor-se em regiões mais simples. Naturalmente, se em cada uma
destas regiões mais simples conseguirmos calcular o integral, apelando
à linearidade do integral relativamente à região de integração, podemos
calcular integral original. O próximo exemplo ilustra esta forma de
proceder.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

430 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Exemplo
A função f : R2 R dada por

f (x, y) = 2x2 y

é contínua em R2 e, portanto, é integrável no conjunto
D = (x, y) R2 : |x| y 2 - x2
pois as funções |x| e 2 - x2 são contínuas. Para calcularmos o integral
de f em D vamos dividir D em duas regiões:
e

D1 = (x, y) R2 : 0 x 1 x y 2 - x2
D2 = (x, y) R2 : - 1 x 0 -x y 2 - x2

Como D = D1 D2 e int (D1 D2 ) = , podemos calcular o integral
de f em D à custa dos integrais de f em D1 e D2 .
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

431 / 460

§4.3 Integração em regiões mais gerais

Exemplo (continuação)
Assim, porque
1

2-x2

f (x, y) dx dy =
0

D1

x
1

=
0

1

2x2 y dy dx =

x2 y 2
0

4x2 - 5x4 + x6 dx =

y=2-x2
y=x

4x3
x7
- x5 +
3
7

dx
x=1

=
x=0

10
21

e
0

2-x2

f (x, y) dx dy =
-1
1

D2

=
0

2x2 y dy dx =

-x

0

x2 y 2
-1

4x2 - 5x4 + x6 dx =

y=2-x2
y=-x

x7
4x3
- x5 +
3
7

dx
x=0

=
x=-1

10
21

concluímos que
D
César Silva (UBI)

f (x, y) dx dy =

f (x, y) dx dy +

f (x, y) dx dy =

D2

D1
Cálculo II

20
.
21

2009/2010

432 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn
Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades
Teorema de Fubini
Integração em regiões mais gerais
Mudança de coordenadas
Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

433 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Muitas vezes é necessário recorrer a outros sistemas de coordenadas
para calcular determinados integrais pois a geometria da região de
integração ou determinadas simetrias da função que queremos integrar
tornam o cálculo consideravelmente mais fácil em determinadas
coordenadas e não noutras.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

434 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Seja U Rn um conjunto aberto. Dizemos que uma função
g : U Rn Rn
é uma mudança de coordenadas em U se verificar as seguintes
condições:
a) g é de classe C 1 ;
b) g é injectiva;
c) det g (x) = 0 para todo o x U .

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

435 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Teorema de mudança de coordenadas
Sejam U Rn um conjunto aberto,
f : D Rn R

uma função integrável em D e

g : U Rn Rn

uma mudança de coordenadas tal que

g(U ) = D.
Então
é integrável em U e

f g : U Rn R
f (y) dy =

D
César Silva (UBI)

f (g(x)) det g (x) dx.
U
Cálculo II

2009/2010

436 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

No caso particular n = 1 recuperamos a fórmula de integração por
substituição, que vimos no Cálculo I. De facto, sejam
f : [a, b] R
uma função integrável em [a, b] (com a < b) e
g : [c, d] R
uma mudança de coordenadas com
g([c, d]) = [a, b], g(c) = a e g(d) = b.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

437 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Como g é uma mudança de coordenadas, temos que
det g (x) = g (x) = 0 para todo x D.
Porque g é continua (uma vez que g é de classe C 1 em U ) concluímos
que g não muda de sinal em [c, d].
Atendendo a que
g(c) = a < b = g(d)
temos g (x) > 0 para todo o x [c, d]. Assim, |g (x)| = g (x) e portanto
b

d

f (x) dx =

a

César Silva (UBI)

d

f (g(t))|g (t)| dt =

f (g(t))g (t) dt.

c

c

Cálculo II

2009/2010

438 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Em seguida vamos ver as três mudanças de coordenadas mais usadas:
· as coordenadas polares;

· as coordenadas cilíndricas;
· e as coordenadas esféricas.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

439 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

As coordenadas polares são
coordenadas em R2 definidas por

y
r

x = r cos
y = r sen


x

com r ]0, +[ e ]0, 2[. As variáveis
r e correspondem, respectivamente, à distância à origem e ao ângulo
formado pelo vector (x, y) e o semi-eixo positivo dos xx.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

440 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Seja
U = (r, ) R2 : r > 0 e ]0, 2[
e g : U R2 R2 dada por
g(r, ) = (r cos , r sen ) = (x, y).
Em U podemos concluir que g é injectiva notando que para cada
r0 > 0 fixo, a função
h() = (r0 cos , r0 sen )
é injectiva (descreve a circunferência de raio r0 com excepção do ponto
(x, y) = (r0 , 0)). Note-se que quando r = 0 perdemos a injectividade.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

441 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Temos ainda
det g (r, ) = det

cos -r sen
sen r cos

= r(cos2 + sen2 ) = r

pelo que podemos concluir que g é de classe C 1 em U e que
det g (r, ) = 0 para todo o (r, ) U.
Obtemos o seguinte caso particular do teorema de mudança de
coordenadas para o caso das coordenadas polares
f (x, y) dx dy =
D

com D1 tal que

César Silva (UBI)

f (r cos , r sen )r dr d
D1

g(D1 ) = D.
Cálculo II

2009/2010

442 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Exemplo de mudança para coordenadas polares
Consideremos a região
D = (x, y) R2 : x2 + y 2 4 e x y e y 0 ,
cuja representação geométrica é
y
x2

+

y2

=4

2

y=x

2 x

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

443 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Exemplo de mudança para coordenadas polares (continuação)
Temos que
ex

2 +y 2

2

dx dy =

D

=

/4

0

0


4

2

2

2

er r d dr =

2

er r

0
2

2

er r dr =

0

er
4 2

r=2

=
r=0

=/4
=0

dr

4
(e - 1).
8

É de notar que a mudança de coordenadas que fizemos não está nas
condições do Teorema de mudança de coordenadas. No entanto, para
estarmos nas condições do Teorema de mudança de coordenadas
bastaria considerar um conjunto "ligeiramente" mais pequeno e, por
isso, o valor do integral não se altera.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

444 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

As coordenadas cilíndricas são
coordenadas em R3 definidas por

z




x = r cos

y = r sen



z = z

y

com z R, r ]0, +[ e ]0, 2[ e
r

que correspondem de alguma forma
x
a considerar coordenadas polares em
cada plano z = z0 . As variáveis r,
correspondem, respectivamente, à distância do ponto (x, y, 0) à origem
e ao ângulo que vector (x, y, 0) faz com o semi-eixo positivo dos xx. A
variável z continua a corresponder à coordenada cartesiana z.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

445 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Seja
U = (r, , z) R3 : r > 0, ]0, 2[ e z R
e g : U R3 R3 dada por
g(r, , z) = (r cos , r sen , z) = (x, y, z).
Em U podemos concluir que g é injectiva notando que para cada r0 > 0
e z0 fixos, a função h() = (r0 cos , r0 sen , z0 ) é injectiva (descreve no
plano z = z0 a circunferência de raio r0 centrada em (0, 0, z0 ) com
excepção do ponto = (r0 , 0, z0 )). Note-se que se r = 0 perdemos a
injectividade. Além disso, que não poderíamos por exemplo considerar
[0, 2[ uma vez que deixaríamos de ter um conjunto aberto.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

446 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Atendendo a que




cos -r sen 0


det g (r, , z) = det sen r cos 0 = r(cos2 + sen2 ) = r
0
0
1

concluímos que g é de classe C 1 em U e que

det g (r, , z) = 0 para todo o (r, , z) U.
Obtemos assim o seguinte caso particular do teorema de mudança de
coordenadas para coordenadas cilíndricas:
f (x, y, z) dx dy dz =
D

onde D1 é tal que

César Silva (UBI)

f (r cos , r sen , z)r dr d dz
D1

g(D1 ) = D.
Cálculo II

2009/2010

447 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Exemplo de mudança para coordenadas cilíndricas
Consideremos a região
D = (x, y, z) R3 : x2 + y 2 4 1 z 2 .
Temos que a função f : R3 R dada por

f (x, y, z) = cos(x2 + y 2 + z)

é integrável em D e usando coordenadas cilíndricas temos
cos(x2 + y 2 + z) dx dy dz
=

D
2
1

2
0

1

0

2

cos(r 2 + z)r dr d dz =

0
2

2

=

2

1

1
(sen(4 + z) - sen z) d dz =
2

= - cos(4 + z) + cos z
César Silva (UBI)

z=2
z=1

2
0
2
1

1
sen(r 2 + z)
2

r=2
r=0

d dz

(sen(4 + z) - sen z) dz

= (- cos 6 + cos 2 + cos 5 - cos 1).
Cálculo II

2009/2010

448 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Tal como aconteceu com o exemplo da mudança para coordenadas
polares, é de notar que a mudança de coordenadas que fizemos no
exemplo anterior não está nas condições do Teorema de mudança de
coordenadas. No entanto, para estarmos nas condições do Teorema de
mudança de coordenadas bastaria considerar um conjunto
"ligeiramente" mais pequeno e, por isso, o valor do integral não se
altera.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

449 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

As coordenadas esféricas são
coordenadas em R3 definidas por

z




x = r cos sen

y = r sen sen



z = r cos

r


y

com r ]0, +[, ]0, 2[

e ]0, [. As variáveis r, e
x
correspondem, respectivamente, à
distância do ponto (x, y, z) à origem,
ao ângulo que o vector (x, y, 0) faz com semi-eixo positivo dos xx e ao
ângulo que o vector (x, y, z) faz com o semi-eixo positivo dos zz.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

450 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Seja
U = (r, , ) R3 : r > 0, ]0, 2[ e ]0, [

e
dada por

g : U R3 R3

g(r, , ) = (r cos sen , r sen sen , r cos ) = (x, y, z).
Em U a aplicação g é injectiva. De facto, para cada r0 > 0 fixo, as
variáveis ]0, 2[ e ]0, [ geram uma esfera de raio r0 com
excepção do meridiano que passa pelo ponto (x, y, z) = (r0 , 0, 0).

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

451 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Atendendo a que



cos sen -r sen sen r cos cos
det g (r, , ) = det sen sen r cos sen r cos sen = -r2 sen
cos
0
-r sen

concluímos que g é de classe C 1 em U e que

det g (r, , ) = 0 para todo o (r, , ) U.
Obtemos portanto o seguinte caso particular do teorema de mudança
de coordenadas para o caso das coordenadas esféricas:
f (x, y, z) dx dy dz
D

f (r cos sen , r sen sen , r cos )r 2 sen dr d d

=
D1

com D1 tal que

César Silva (UBI)

g(D1 ) = D.
Cálculo II

2009/2010

452 / 460

§4.4 Mudança de coordenadas

Exemplo de mudança para coordenadas esféricas
Se D = (x, y, z) R3 : 1 x2 + y 2 + z 2 4 , então usando
coordenadas esféricas temos
2

2



r4 r2 sen d d dr

(x2 + y 2 + z 2 )2 dx dy dz =
1

D

0
2

0
2

=

r
1

6

0
2

2r6

=
1

- cos
=2
=0

=
=0

dr = 4

d dr
r7
7

r=2

=
r=1

508
.
7

Também neste exemplo se verifica algo de semelhante ao que aconteceu
nos exemplos de coordenadas polares e de coordenadas cilíndricas, ou
seja, não estamos nas condições do Teorema de mudança de
coordenadas, mas isso não causa problemas pelas mesmas razões que
também não causava nas duas outras mudanças de coordenadas.
César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

453 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn
Integral de Riemann: definição, exemplos e propriedades
Teorema de Fubini
Integração em regiões mais gerais
Mudança de coordenadas
Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

454 / 460

§4.5 Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

Como se deduz da construção feita na primeira secção deste capítulo, o
integral de uma função f não negativa com n variáveis, x1 , . . . , xn ,
integrável numa dada região limitada R é numericamente igual ao
volume ((n + 1)-dimensional) da região (n + 1)-dimensional
compreendida entre o seu gráfico e o plano n-dimensional de equação
xn+1 = 0.

Assim concluímos que o volume VR de uma região R Rn limitada é
dado por
VR =
caso o integral exista.
César Silva (UBI)

R

1 dx1 · · · dxn ,

Cálculo II

2009/2010

455 / 460

§4.5 Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

Em particular, se C R2 é uma região limitada, a sua área AC é dada
por
AC =

1 dx dy
C

e se D R3 é um sólido limitado, o seu volume VD é dado por
VD =

1 dx dy dz,
D

desde que os integrais considerados existam.

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

456 / 460

§4.5 Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

Exemplos
a) Seja
C = (x, y) R2 : x2 + y 2 1 e y |x| .
A área da região C é dada por
AC =

1 dx dy
C
1

=

3
4

4

0
1

=

r
0

r2
=
2 2

= .
4
César Silva (UBI)

Cálculo II

r d dr
= 3
4
=
4

dr

r=1
r=0

2009/2010

457 / 460

§4.5 Aplicação ao cálculo de áreas e volumes

Exemplos (continuação)
b) Seja D a região compreendida entre as esferas de raio 1 e de raio 2.
O volume da região D é dado por
VD =

1 dx dy dz
2

=

D

2

=
1

2
0

2

=

r3
3

28
=
.
3
César Silva (UBI)

r 2 - cos

2r 2

1

= 4

r 2 sen d d dr

0

0

1



2

=2

=0
r=2

=
=0

d dr

dr

r=1

Cálculo II

2009/2010

458 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

459 / 460

Índice

1

Sucessões e séries de números reais

2

Funções de Rn em Rm : limites e continuidade

3

Cálculo diferencial em Rn

4

Cálculo integral em Rn

5

Integrais de linha

6

Integrais de superfície

César Silva (UBI)

Cálculo II

2009/2010

460 / 460