METODOLOGIA PARA A OBTENÇÃO DE PARÂMETROS FÍSICOS E
GEOMÉTRICOS DO OSSO TRABECULAR FUNÇÃO DE IMAGENS
DE MICRO TOMOGRAFIA
Marco A. Argentaa, Tiago M. Buriolb, Mildred B. Heckec
a

Grupo de Bioengenharia, Universidade Federal do Paraná, Centro Politécnico, Jardim das
Américas, Curitiba/PR, Brasil, [email protected], http://www.grupo.bioengenharia.ufpr.br
b

Grupo de Visualização do PPGMNE, Universidade Federal do Paraná, Centro Politécnico, Jardim
das Américas, Curitiba/PR, Brasil, [email protected], http://rbv.cesec.ufpr.br/
c

Grupo de Bioengenharia, Universidade Federal do Paraná, Centro Politécnico, Jardim das
Américas, Curitiba/PR, Brasil, [email protected], http://www.grupo.bioengenharia.ufpr.br

Palavras-Chave: Micro Tomografia, Osso trabecular, Parâmetros físicos e geométricos.
Resumo. Na engenharia, o primeiro passo para a análise de uma estrutura é o conhecimento do
material que a compõe e da sua geometria. Normalmente o material é conhecido com ensaios
destrutivos de tração, compressão, pesagem e medições volumétricas executados utilizando-se corpos
de prova de dimensões padronizadas. Em relação à geometria, na maioria dos casos, são regulares e
criadas a partir de formas primitivas como retângulos, triângulos, cilindros, sendo sua criação digital
simples de ser executada. No entanto, com materiais vivos, tanto a caracterização do material quanto a
criação da geometria digital são bem complexos, devido à variação de suas propriedades, dano e cura,
e seu formato irregular. Sendo assim, outra forma de se conhecer o material deve ser utilizada. Este
trabalho apresenta uma metodologia básica para a determinação das propriedades físicas e parâmetros
geométricos do tecido trabecular ósseo a partir de imagens de micro tomografia. A micro tomografia é
uma técnica não destrutiva que reconstrói e modela interiores de amostras na escala micrométrica e
obtém informações sobre suas características tridimensionais. A exemplificação da metodologia será
apresentada em função da micro tomografia de uma amostra de osso trabecular extraída da cabeça de
um fêmur humano. O aparelho que será utilizado para a tomografia será o micro-CT SkyScan 1172 de
alta resolução. A partir das imagens obtidas pelo detector de raios X, função do coeficiente de
atenuação, são reconstruídas as fatias tomográficas transversais utilizando-se o algoritmo de Feldkamp
modificado. Sobre essas fatias, são aplicados algoritmos para a obtenção de propriedades físicas da
amostra como volume de vazios, volume de osso, densidade aparente, densidade do pixel, grau de
anisotropia, direções anisotrópicas e dimensão fractal tridimensional. Os algoritmos para o cálculo dos
volumes de vazio e de osso são baseados em características e quantidade de pixels. A densidade
aparente é calculada com o peso total das amostras dividida pelo volume de osso calculado. A
densidade do pixel é estimada em cada ponto do osso trabecular correlacionando-se a escala de
Hounsfield com densidades de materiais conhecidos, colocados juntos com a amostra durante a
aquisição. O grau de anisotropia e as direções anisotrópicas são calculados utilizando-se o método do
comprimento médio de interceptação e do momento de inércia das partes das trabéculas constantes em
volumes representativos dessa amostra. A dimensão fractal, usada para quantificar a irregularidade das
trabéculas, é calculada utilizando-se o método de box counting. Descrições da metodologia são
apresentadas assim como conclusões a respeito da coerência dos valores encontrados.

1

INTRODUÇÃO

Na engenharia, o primeiro passo para a análise de uma estrutura é o conhecimento do
material que a compõe e da sua geometria. Normalmente o material é conhecido com ensaios
destrutivos de tração, compressão, pesagem e medições volumétricas executados utilizando-se
corpos de prova de dimensões padronizadas.
Em relação à geometria, na maioria dos casos, são regulares e criadas a partir de formas
primitivas como retângulos, triângulos, cilindros, sendo sua criação digital simples de ser
executada. No entanto, com materiais vivos, tanto a caracterização do material quanto a
criação da geometria digital são bem complexos, devido à variação de suas propriedades,
dano e cura, e seu formato irregular. Sendo assim, outra forma de se conhecer o material deve
ser utilizada.
Este trabalho apresenta uma metodologia básica para a determinação de alguns parâmetros
físicas e geométricos do tecido trabecular ósseo, obtidos em função de imagens de micro
tomografia.
O objetivo dessa caracterização é a obtenção de propriedades do osso trabecular que
possam quantificar e diagnosticar fenômenos como a remodelação óssea ou doenças como a
osteoporose, mensurados a partir de uma micro tomografia.
2

O OSSO TRABECULAR

O osso é uma forma altamente especializada de tecido conjuntivo com a função de suporte
dos seres vertebrados superiores. É um tecido vivo complexo no qual a matriz extracelular é
mineralizada conferindo rigidez e força ao esqueleto, mas mantendo certo grau de
elasticidade. Sua composição pode ser separada em uma matriz orgânica, composta quase que
totalmente por colágeno, e uma matriz inorgânica, formada basicamente de cálcio e fosfato na
forma de hidroxiapatita (Peterson e Bronzino 2008).
No osso trabecular, encontram-se formas pouco organizadas com muitos poros, formando
estruturas conhecidas como trabéculas. Uma das formas de quantificar a irregularidade da
geometria das trabéculas é conhecendo-se a sua dimensão fractal, assim como o grau de
anisotropia. A suas direções principais de crescimento podem ser definidas pelas direções
isotrópicas, e uma quantificação de trabéculas em certo volume de referência pode ser obtida
com a densidade aparente. Essas medições podem caracterizar o estado físico do tecido ósseo
trabecular em um volume de referência durante um instante da vida do indivíduo.
As trabéculas do osso trabecular são como lâminas ósseas irregularmente dispostas nos
vários sentidos, deixando espaços livres entre si, ocupados pela medula óssea, que tem a
função de elaborar as células sanguíneas. Observado ao microscópio, este osso tem um
aspecto semelhante ao de uma esponja. Contudo, existem setores de alguns ossos, como
acontece na cabeça do fêmur, em que as trabéculas adotam uma disposição específica
determinada pela força a que o osso se encontra submetido, o que lhe confere uma maior
resistência (Bilezikian, Raisz e Rodan 2002). Localmente nas trabéculas também é possível
quantificar parâmetros que ilustrem sua composição, como a densidade de cada pixel,
representada em função da escala de cinza de imagens tomográficas dessas trabéculas.
3

A MICROTROMOGRAFIA

A micro tomografia computadorizada é uma técnica não destrutiva que reconstrói e modela
interiores de amostras na escala micrométrica e obtém informações sobre sua geometria
tridimensional e propriedades do material. O conceito básico desse processo de imagem
provou que um objeto tridimensional pode ser reconstruído através de suas projeções

bidimensionais.
O princípio físico básico da tomografia computadorizada é a interação de radiação com
matéria. As radiações têm sua intensidade diminuída em função do material que as absorve.
As principais interações da radiação com a matéria ocorrem na forma de efeito fotoelétrico,
efeito Compton e produção de pares. Ainda assim, devido às energias usadas em raios X para
diagnóstico convencional, a produção de pares não é relevante.
A atenuação da energia das radiações ocorre de maneira exponencial em função da
espessura do material absorvedor. Isso significa que quanto mais espesso o material, menor
será a energia da radiação que deixa o material depois de atravessá-lo, se atravessá-lo. Por
outro lado, quanto maior a energia dos fótons da radiação incidente, maior será também a sua
capacidade de penetração, embora se aumente, também, a probabilidade das interações
ocorrerem, pois a radiação se propaga por uma distância maior e consequentemente, interage
mais (Dyson 1993).
Matematicamente, a atenuação dos fótons ou da radiação é bem representada pela Equação
(1).
(1)
onde é a intensidade da radiação incidente, I é a intensidade da radiação que emerge do
material, b é a espessura do material absorvedor e é o coeficiente de atenuação linear total e
está relacionado à probabilidade dos fótons serem absorvidos.
A geração de imagens de micro tomografia começa com a obtenção de projeções de raios
X sobre as amostras coletadas por um detector posicionado de lado oposto a fonte de raios X.
A amostra é rotacionada em incrementos de grau e a cada incremento incidem os raios X
sobre a mesma sendo sua projeção, conhecida como cone-beam, capturada pelo detector. A
Figura 1 ilustra esse processo. Esse processo gera uma sequência de imagens radiológicas,
capturadas pela rotação da amostra em 360º, função do incremento de grau definido
inicialmente.

fonte de raios-X

amostra

detector

rotação em
incrementos

y

z

x

Figura 1: Esquema da obtenção de imagens via incremento de grau.

Uma vez obtido o conjunto de projeções do sistema de micro-CT, as imagens passam por
um processo de reconstrução. O processo de reconstrução constitui um caminho matemático
para a obtenção de fatias transversais (ou fatias tomográficas) da amostra a partir das imagens
em incremento de grau.

O processo de reconstrução é feito utilizando-se o algoritmo de Feldkamp modificado. O
algoritmo de Feldkamp (Feldkamp, Davis e Kress 1984) baseia-se em dois conceitos básicos
para a reconstrução das fatias da amostra em função das projeções cone-beam: a
backprojection e a convolução (Russ 2006). Backprojection identifica a posição de um objeto
a partir da superposição de projeções em diferentes ângulos, conforme ilustra a Figura 2.
Aumentando-se o número de projeções consegue-se uma suavidade melhor na borda do
objeto.

3 projeções

5 projeções

9 projeções

18 projeções

Figura 2: Backprojection.

No entanto, um anel borrado ainda aparece ao redor do objeto, não importando o número
de projeções sobrepostas. A eliminação desse anel borrado é feita utilizando-se a convolução,
um processo que subtrai o valor do brilho ao redor do objeto, fazendo o objeto aparecer mais
nítido, conforme ilustra a Figura 3.

(a)

(b)

Figura 3: Convolução, (a) somente backprojection, (b) backprojection e convolução.

Uma vez já reconstruída, cada fatia tomográfica transversal da amostra é mostrada em
forma de uma matriz digital N x M pixels, onde N representa o número de pixels existentes na
vertical e M os da horizontal. As fatias são calculadas a certa distância uma das outras, que no

caso desse microtomógrafo é exatamente igual ao tamanho do pixel. Pixel é a representação
básica de um elemento bidimensional de uma imagem digital. Para cada valor do pixel
designa-se um valor de cinza que é proporcional aos coeficientes de absorção do detector, de
acordo com a Equação ( 2 ).
(2)
sendo
o valor da escala de Hounsfield do pixel,
(2,262.10-1 cm-1) o valor do
coeficiente de atenuação da água e
o coeficiente de atenuação mensurado pelo detector
para o correspondente pixel.
Assim, tem-se que a região mais densa aparece mais escura e consequentemente à região
que é menos densa aparece mais clara. Como a maioria dos monitores apresenta 256 níveis de
cinza com um byte, a escala é montada com 0 para o preto e 255 para o branco e os valores
que são intermediários a estes equivalem aos níveis de cinza propriamente dito.
4

PARÂMETROS FÍSICOS

Os parâmetros físicos quantificados são os volumes de osso e de vazios, a densidade de um
volume representativo de osso trabecular, chamada de densidade aparente e a densidade
aproximada local em micro escala da trabécula, chamada de densidade do pixel.
4.1 Volumes
Os volumes de osso e de vazios são simples de serem obtidos. Uma vez obtida a fatia
tomográfica transversal em escala de cinza, são contados os pixels com níveis de cinza
correspondentes a osso e os pixels com níveis de cinza correspondentes a vazios. Como as
dimensões do pixel são conhecidas, e considerando-se que a terceira dimensão do pixel é
igual aos lados, ou seja, fazendo o pixel da fatia um cubo, chamado de voxel, o volume de
osso e o volume de vazios são obtidos pela multiplicação da quantidade de pixels
representativa de cada volume, pelo volume de um voxel. Essa transformação do pixel em um
objeto tridimensional é válida, pois durante a reconstrução das fatias tomográficas o algoritmo
de Feldkamp usa o mesmo tamanho do lado do pixel como distância entre as fatias que serão
reconstruídas. Portanto, cada fatia é considerada como representativa de uma porção
volumétrica da amostra com uma espessura do tamanho do lado do pixel.
4.2 Densidades
A densidade aparente é calculada com uma relação entre a massa da amostra, obtida com a
pesagem das amostras, e o volume de osso da amostra, obtido função dos pixels
representativos de osso. A densidade do pixel é calculada em função do coeficiente de
atenuação do material.
Esse coeficiente é representado pela escala de Hounsfield, uma escala de cores cinza de
uma fatia tomográfica transversal da amostra obtida com a reconstrução de imagens
radiológicas. A obtenção da densidade do pixel é feita com uma correlação entre as escalas de
cinza do osso e as escalas de cinza de amostras de materiais com densidade conhecida,
colocadas juntamente com a amostra de osso durante a aquisição das imagens tomográficas,
conforme ilustra a Figura 4. No caso, serão utilizados cimentos endodônticos homogêneos de
diversas densidades para essa correlação. A intensidade de cinza de cada amostra de cimento
identifica certo valor numérico de densidade. Esse valor de densidade será dito como do pixel
com a intensidade correspondente de cinza no osso. Caso o valor da escala de cinza do osso

não corresponda ao valor da escala de cinza de nenhum cimento, é feita uma média ponderada
entre o valor da escala de cinza do pixel do osso e os valores de densidades de dois cimentos,
com valores de cinzas próximos ao valor de cinza do pixel do osso.
Essa correlação é válida, pois por princípio o feixe de raios X que atravessa um material
perde intensidade em função da sua densidade e espessura. No entanto, a reconstrução da fatia
tomográfica transversal das imagens radiológicas pelo algoritmo de Feldkamp identifica essa
perda em cada pixel da imagem da fatia, tornando a escala de cinzas dessa fatia apenas função
da densidade do material.

Figura 4: Correlação entre os valores de cinza do osso e os valores de cinza dos cimentos com densidades
conhecidas.

5

PARÂMETROS GEOMÉTRICOS

Os parâmetros geométricos quantificados são o grau de anisotropia das trabéculas, suas
direções anisotrópicas e a dimensão fractal.
5.1 Anisotropia
A o grau anisotropia e as direções anisotrópicas das trabéculas são calculados utilizando-se
dois métodos: o primeiro, clássico na literatura, conhecido como comprimento médio de
interceptação (MIL1), e o segundo, baseando-se nos princípios do momento de inércia e do
produto de inércia, escritos sob a forma de um tensor de inércias (TI).
5.1.1

Comprimento médio de interceptação

O método do comprimento médio de interceptação (MIL) se baseia no fato de que: seja um
volume complexo contendo certo número de vazios, como o osso trabecular, se esse volume
for isotrópico, uma linha traçada através desse volume fará uma quantidade similar de
interceptações ao volume, em qualquer orientação tridimensional, se for anisotrópico, não. A
Figura 5 ilustra essa ideia.

1

Mean Intercept Length.

1

4

5

6

7

2
3

Figura 5: Linhas interceptando uma seção de um volume qualquer. As linhas 1, 2 e 3 interceptam os elementos
longos mais vezes que as 4, 5, 6 e 7.

O comprimento médio de interceptação é calculado traçando-se uma grade de linhas
através da imagem volumétrica 3D e dividindo-se o comprimento de cada linha dessa grade
pelo número de vezes que a linha intercepta uma parte do volume. Para um cálculo geral por
todo o volume, um conjunto de várias grades é traçado em diversas angulações diferentes. O
MIL para cada angulação é calculado como a média de todas as linhas da grade, sabendo-se
assim, de uma forma básica, o comportamento isotrópico ou anisotrópico da geometria do
volume.
O cálculo da anisotropia e das direções anisotrópicas da geometria de um volume requer
que as linhas iniciais traçadas em diversos ângulos através do volume tenham igual
comprimento. Para tal, é definida um volume de referência esférico e, para essa região, são
traçadas linhas que passam pelo seu centro cobrindo todos os ângulos 3D. Após o cálculo do
CMI para cada linha, esse valor é adotado como novo comprimento para as linhas, criando um
efeito parecido com uma almofada de alfinetes, com ilustrado na Figura 6. A essa distribuição
de linhas, é ajustada, estatisticamente, um elipsóide. Esse elipsóide é descrito por três raios,
sendo que o maior deles está na direção onde a estrutura sólida tem o maior MIL (Tabor e
Rokita 2007).

Figura 6: Almofada de alfinetes com o ajuste de um elipsóide.

Matematicamente, esse elipsóide é descrito por três vetores, determinados em função dos
raios calculados. Esses vetores podem ser escritos em um tensor de segunda ordem, definindo
os eixos do elipsóide, na direção de cada raio (Wald, et al. 2007). Deste tensor podem-se
calcular as direções principais, que definem os eixos principais do elipsóide, calculando-se
seus autovalores e autovetores. Os autovalores definem os raios da direção principal e os
autovetores sua orientação e sentido.

5.1.2

Momento de Inércia

O método desenvolvido a partir do tensor de inércia (TI), parte do mesmo princípio usado
para o cálculo dos volumes, em que cada fatia tomográfica transversal representa certa
espessura do sólido da amostra, espessura essa de tamanho igual ao lado do pixel, ou seja,
cada pixel da fatia tomográfica transversal é transformado em um cubo, ou voxel.
Sobrepondo-se todas essas fatias é possível montar um sólido completo da amostra de osso
trabecular, como se fosse uma pilha de voxels. Desse sólido é possível extrair certo volume de
referência cúbico de tamanho qualquer escolhido. Inicialmente é calculado o centro de massa
do volume de referência, baseando-se na massa de cada pixel, função da densidade do pixel
(calculada anteriormente) e do volume do pixel, conforme a Equação ( 3 ).
(3)
sendo,
um vetor que localiza o centro de massa do volume de referência em relação à
origem de um sistema de coordenadas cartesianas globais definido,
um vetor que localiza
o centro de massa de cada voxel do volume de referência em relação à origem do mesmo
sistema cartesiano global e a massa.
Após a localização do centro de massa, um novo sistema de coordenadas cartesianas é
definido, com eixos x, y e z paralelos ao sistema de coordenadas globais com origem no
centro de massa. Usando esses novos eixos como referência é calculado o tensor de inércias
para o volume de referência cúbico (Goldstein, Poole e Safko 2000). Para tal, cada voxel do
volume de referência é considerado como um cubo. O tensor de inércias do voxel, , em
relação ao seu centro de massa, que coincide com o centro geométrico, pois a distribuição de
massa no voxel é considerada homogênea, pode ser calculado de acordo com a Equação ( 4 ).
(4)
onde, é a densidade do voxel, considerada igual a densidade do pixel,
é um vetor de
posição que localiza pontos do voxel em relação ao seu centro de massa e
é a matriz
identidade, integrado no volume do voxel, V.
O tensor de inércias do volume de referência ( I ) é a soma dos tensores de inércias de cada
voxel quando calculados em relação ao centro de massa desse volume de referência. Como o
tensor de inércia de cada voxel em relação ao seu próprio centro de massa é conhecido, é
possível a aplicação do Teorema de Huygens-Steiner (ou dos eixos paralelos) para a obtenção
dos tensores de inércias de cada voxel no centro de massa do volume de referência de acordo
com a Equação ( 5 ).
(5)
sendo,
o tensor de inércias do voxel i em relação ao centro de massa do volume de
referência, o tensor de inércias do voxel i em relação ao seu próprio centro de massa,
a
massa do voxel i,
um vetor de posição que localiza o centro de massa do volume de
referência em relação ao centro de massa do voxel i (Sussman, Wisdom e Mayer 2000).Por
fim, o tensor de inércias do volume de referência é obtido com a Equação ( 6 ).

(6)
onde,
o tensor de inércias do voxel i, calculado usando a Equação ( 5 ), n o número de
voxels que representam osso e o tensor de inércias do volume de referência em relação aos
eixos x, y e z que passam pelo seu centro de massa.
A partir desse tensor de inércias é possível calcular as inércias principais do volume de
referência e suas direções principais, calculando seus autovalores e autovetores. É possível
também construir um elipsóide para visualização das direções principais em função das
componentes do tensor de inércias (Goldstein, Poole e Safko 2000). Esse elipsóide é definido
pela Equação ( 7 ).
(7)
As componentes do tensor de inércias são identificadas como os momentos de inércia em
torno dos eixos x, y e z na diagonal principal, e os produtos de inércia em relação a esses
eixos preenchendo o resto do tensor.
O momento de inércia mede a distribuição de massa de um sólido em torno de um eixo de
rotação, já os produtos de inércia medem a anti-simetria da distribuição de massa do sólido
em relação a um par de eixos. O tensor de inércias é um tensor simétrico de segunda ordem
que pode ser entendido como uma generalização do momento de inércia do sólido.
Rotacionando esse tensor obtêm-se o tensor principal de inércias, encontrado quando as antisimetrias, ou produtos de inércia, são iguais a zero, o qual mede a distribuição de massa do
solido em torno de três eixos principais, que indicam a maior, menor e a inércia intermediária
para o sólido. As direções principais de inércia indicam, para o volume de referência
representativo, as direções com maior concentração de massa e, por consequência, maior
rigidez, sendo que a direção principal de menor inércia representa a direção de maior
concentração de massa e a direção principal de maior inércia a de menor concentração de
massa.
O grau de anisotropia ( ) desse volume de referência é a relação entre o máximo autovalor
(
) calculado e o mínimo (
), tanto para o método MIL quanto para o método TI,
definido conforme a Equação ( 8 ), sendo que
significa completa anisotropia e
isotropia (Yi, et al. 2007).
(8)
As direções principais anisotrópicas são dadas pelos autovetores.
5.2 Dimensão Fractal
Fractais são formas complexas que não podem ser medidas apenas por dimensão
topológica. A dimensão fractal ( ), também conhecida como dimensão de HausdorffBesicovitch, surge então como uma alternativa de medição já que pode assumir valores
fracionários, obtendo assim o grau de complexidade de uma forma. Pode-se afirmar que a
dimensão fractal de um conjunto é um valor que diz o quanto densamente um conjunto ocupa
o espaço métrico em que ele existe (Mandelbrot 1989).
O método do box-counting, um dos mais clássicos na literatura para a estimação da

dimensão fractal, propõe uma medida sistemática que se aplica a qualquer estrutura no plano
ou no espaço. Baseia-se na criação de uma grade de quadrados ou cubos sobre a imagem e na
contabilização de números de quadrados ou cubos que contenham no seu interior uma porção
do objeto, por menor que seja. Variando-se a quantidade de quadrados ou cubos dessa grade,
ou seja, variando-se o tamanho do lado desses quadrados ou cubos, pode-se montar um
gráfico
x
, sendo
o número de quadrados ou cubos contendo uma porção do
objeto, o tamanho do lado desses quadrados ou cubos utilizados. A dimensão fractal pode
ser calculada como o coeficiente angular da reta que interpola os pontos desse gráfico, ou
então pela resolução da equação da dimensão box-counting:
(9)
sendo uma constante, que pode, por exemplo, ser uma relação entre a área ou volume de
cada quadrado ou cubo e a quantidade do objeto encontrada dentro desse quadrado ou cubo
(Stoyan e Stoyan 1994).
A dimensão fractal a partir da Equação ( 9 ) é obtida através da Equação ( 10 ), quando o
tamanho dos quadrados ou cubos tende a zero.
( 10 )
O tamanho desses quadrados ou cubos, iniciados pela imagem inteira, é geralmente
reduzido a metade a cada passo de cálculo para montagem do gráfico
x
.A
análise da dimensão fractal de fenômenos complexos pode ser uma ferramenta importante
para quantificar o grau de irregularidade de fenômenos artificiais ou naturais.
6

RESULTADOS

A verificação das metodologias para cálculo dos parâmetros é feita utilizando inicialmente
154 imagens no formato bitmap (BMP) de tamanho 280 por 380 pixels cada, sendo o tamanho
do pixel de 19,48 micrômetros, ou seja, uma amostra de 5,5 mm largura, 7,4 mm de
comprimento, 3,0 mm de espessura. Isso resulta em um volume de dados correspondente a
uma matriz tridimensional de 154x280x380, contendo os valores de cinza de todos os pixels
de todas as 154 fatias tomográficas transversais.

(a)

(b)

Figura 7: Fatias tomográficas transversais: (a) original, (b) segmentada.

A partir dessas matrizes em função do valor de cinza associado ao pixel, são identificados

os pixels que fazem parte do osso, e os pixels que fazem parte do vazio. Observando-se a
imagem concluiu-se que valores de cinza inferiores a 200 representam osso e valores de cinza
superiores a 200 representam vazio. A visualização de uma das fatias tomográficas
transversais no formato original e segmentada é mostrada na Figura 7.

Figura 8: Sólido tridimensional da amostra.

Partindo-se do princípio que cada fatia tomográfica transversal representa uma espessura
equivalente ao tamanho do pixel da amostra de osso, cada pixel pode ser considerado como
um cubo (voxel), de arestas iguais ao tamanho do pixel. Sendo assim, empilhando-se as fatias
extrudadas da espessura do pixel, obtêm-se um sólido tridimensional da amostra de osso,
ilustrado na Figura 8.
6.1 Volumes
Observa-se do detalhe na Figura 8, que o sólido é composto por um agrupamento de
voxels, que representam osso. A partir dessa configuração são calculados o volume de vazios,
o volume de osso e a densidade aparente.
Parâmetro
Número de voxels total da amostra
Número de voxels que representam osso
Número de voxels que representam vazios
Volume de um voxel
Volume total da amostra
Volume de osso
Volume de vazios

Valor

Tabela 1: Parâmetros geométricos iniciais.

A Tabela 1 mostra os valores de volumes calculados em função das dimensões do voxel,

definido como um cubo de arestas iguais a 19,48 micrômetros.
6.2 Densidades
Amostra pesa um total de 43,155 mg e sendo o volume de osso de
, chegase a um valor para a densidade aparente de
.
A densidade do pixel é calculada utilizando 10 amostras de cimento ortodôntico de volume
aproximadamente igual (moldados com a mesma quantidade de material em discos de
aproximadamente 7,0 mm de diâmetro por 2,0 mm de altura), mas com massas diferentes. O
cimento ortodôntico é um material heterogêneo em micro escala, no entanto, as
heterogeneidades do material são poucas, tanto que as imagens geradas pela micro tomografia
contém, na grande maioria dos pixels, um nível de cinza, podendo as características do
material serem correlacionadas a esse nível. A Figura 9 ilustra uma visualização das amostras
de cimento.

Figura 9: Amostras de cimento com densidades conhecidas.

A Tabela 2 relaciona os valores das densidades para cada cimento, com os valores das
escalas de cinzas medidos.
Número do
cimento
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Massa [mg]
142,5
146,4
148,2
158,0
158,8
163,4
166,8
173,6
176,4
178,4

Densidade
[mg/mm3]
1,8514
1,9020
1,9254
2,0527
2,0631
2,1229
2,1671
2,2554
2,2918
2,3178

Valor de cinza
59
56
54
51
47
43
41
39
37
28

Tabela 2: Parâmetros geométricos iniciais.

Uma simples aproximação linear da correlação entre os valores de densidade e os valores
de cinza é mostrada na Figura 10.
Essa correlação linear pode ser expressa da forma inversa como mostra a Equação ( 11 ).
Essa equação é aplicada a cada voxel do sólido tridimensional, ou seja, cada voxel da imagem
tridimensional é associado um valor de densidade em função do valor de cinza do próprio
voxel.

( 11 )

Figura 10: Correlação linear entre os valores de densidades e valores de cinza.

6.3 Anisotropia
A aplicação do MIL considerando-se toda a geometria tridimensional da amostra inicia-se
com o ajuste de uma esfera dento dos limites da amostra. A partir do centro dessa esfera,
foram traçadas linhas de iguais comprimentos em diversas direções diferentes. Em seguida, o
comprimento de cada uma dessas linhas é dividido pelo número de interceptações que a linha
faz com osso, fazendo com que a visualização dê uma ideia de uma almofada de alfinetes,
Figura 6. A essa almofada de alfinetes é ajustado estatisticamente, através do método dos
mínimos quadrados, a um elipsoide. Os eixos desse elipsoide definem as direções principais
de anisotropia. A Figura 11 ilustra esse elipsoide.

Figura 11: Elipsoide ajustado para o MIL.

O cálculo das direções anisotrópicas utilizando os momentos de inércia utiliza todo o

conteúdo do sólido tridimensional, diferentemente do MIL, no qual é ajustada uma esfera
inicialmente perdendo-se assim partes da amostra. O tensor de inércia calculado é mostrado
na Equação ( 12 ).
( 12 )

Figura 12: Eixos principais de inercia.

A partir desse tensor de inércia são calculados os autovalores e autovetores que indicam as
inércias principais
e suas direções principais
, respectivamente. Os
autovalores a autovetores são mostrados na Equação ( 13 ) e na Equação ( 14 ), nas colunas.
( 13 )

( 14 )

A direção da maior inércia identifica a direção com menor ocorrência de voxels que
representam osso, pois em torno desse eixo a inércia é alta, sendo a direção com maior
espaços entre as trabéculas. A direção da menor inércia indica a ocorrência de maior
quantidade de voxels de osso, pois em torno desse eixo a inércia é baixa, sendo assim, essa é a
direção principal das trabéculas, ou direção de orientação. Uma visualização dos eixos
principais de inércia para essa amostra é mostrada na Figura 12. O grau de anisotropia dessa
amostra, calculado conforme a Equação ( 8 ), foi avaliado em 81,75 %.
6.4 Dimensão fractal
A dimensão fractal consegue mensurar a irregularidade das fatias tomográficas
transversais, para tal, foi calculada em todas as 154 fatias transversais da amostra. A Figura
13 ilustra a variação da dimensão fractal com a altura da amostra.
3

Altura da amostra (mm)

2,5

2

1,5

1

0,5

0
1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,2

1,21

Dimensão Fractal

Figura 13: Variação da dimensão fractal com a altura.

Observa-se da Figura 13 que a variação da irregularidade na parte mais baixa da amostra,
mas próxima do centro da cabeça do fêmur, é maior, e na parte superior da amostra, mais
próxima ao osso cortical, a variação da irregularidade trabecular é menor, indicando um
comportamento mais regular.
7

DISCUSSÃO

O tecido ósseo possui propriedades complexas de serem mensuradas, pois variam
constantemente em função da fisiologia do indivíduo. A metodologia de análise através da
micro tomografia demonstrou que, em micro escala, o tecido ósseo trabecular tem
propriedades variando com os pixels da imagem da fatia tomográfica transversal. Foi possível
avaliar propriedades como a densidade do tecido ósseo a cada pixel, graças ao princípio de
geração de imagens por micro tomografia, baseado no coeficiente de atenuação, calculado a
partir da energia resultante medida pelo detector de raios X do aparelho.

A identificação das partes componentes da matriz trabecular nas fatias tomográficas
transversais, trabéculas e medula óssea (considerada como vazio), assim como a própria
geração dessas fatias, calculadas a uma distância igual ao tamanho do pixel uma das outras,
torna possível a geração de um sólido tridimensional da amostra. Esse sólido viabilizou a
caracterização da geometria irregular das trabéculas, assim como o cálculo de parâmetros
como a anisotropia, identificando suas direções preferenciais de crescimento.
A transformação desses dados de micro tomografia em valores numéricos, correlacionados
com propriedades previamente definidas, torna viável a obtenção de parâmetros físicos,
geométricos e possivelmente mecânicos da estrutura trabecular óssea.
8

CONCLUSÕES

A aplicação do método em ossos trabeculares mostrou-se viável apesar da grande
quantidade de dados e da demorada execução dos cálculos matemáticos. Essa dificuldade
pode ser contornada utilizando-se modernas técnicas de computação, como por exemplo, a
utilização dos processadores das placas gráficas, GPUs (Argenta, et al. 2010).
Os parâmetros avaliados neste trabalho indicaram certas características do tecido ósseo
trabecular como sua densidade variável nas trabéculas, suas direções de crescimento
preferenciais, direções anisotrópicas e a variação da irregularidade em função do local de
retirada da amostra, identificando a complexidade dessa estrutura e a variabilidade de suas
propriedades.
Esses parâmetros ainda não possibilitam uma caracterização completa do material osso,
pois como a densidade varia com a unidade básica da imagem de micro tomografia (pixel),
outras propriedades também poderão variar, como a quantidade de hidroxiapatita (material
responsável pela rigidez do osso) e as propriedades mecânicas do osso. No entanto, é possível
a quantificação de fenômenos que modificam a estrutura trabecular, como o remodelamento
ósseo e a osteoporose, assim como avaliar a eficiência de tratamentos de doenças ósseas.
REFERÊNCIAS
Argenta, Marco André, Tiago Martinuzzi Buriol, Mildred Ballin Hecke, e Sergio Scheer.
"Processamento baseado em GPU para cálculo de parãmetros físicos e geométricos do tecido
ósseo trabecular a partir de dados de micro tomografia." XXXI Iberian-Latin-American
Congress on Computational Methods in Engineering, 15-18 de Novembro de 2010: Artigo
proposto.
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